矩阵的最小路径和 [DP]

从本文开始，我打算多刷一些动态规划的题。不仅如此，各种典型算法也会在分类刷一刷。

【题目】

给定一个矩阵，从左上角开始每次只能向右或者右下走，最后到达右下角的位置，路径上所有数字累加起来就是路径和，返回所有路径中最小的路径和。

【举例】

如果给定的m如下：

1，3，5，9

8，1，3，4

5，0，6，1

8，8，4，0

路径1，3，1，0，6，1，0是所有路径中路径和最小的，所以返回12。

【解答】

这道题是很明显的动态规划算法，动态规划算法的一般步骤就是列一张表来存放计算过的值，通常采用数组实现。这道题的特殊之处在于表的值不仅和自身有关，而且和原矩阵也是相关的。表中的值需要和原矩阵中的值相加，因为我们求的是路径和。

矩阵如下，只画了一部分，动态规划通常会申请+1的空间，i=0和j=0用来存放动态规划的初始值，这里我们赋为0，这张表是B[m+1][n+1]。

：0 1 2 3 4 

0: 0 0 0 0 0

1: 0 1 4 9 18

2: 0 9 5

...

不难看出，B[1][j]和B[i][1]是取它上下两个相邻值再加上原数组A[i-1][j-1]的值（看1和4），为什么减一是因为规划表真实数据从1开始而不是从0开始。这些其实是为了初始化下标为1的这些点。

除了下标为i=1或j=1的部分，其他值（看5）是上下相邻两个值得最小值与原数组A[i-1][j-1]的值相加。这就是dp数组的公式了。

我第一种解法就没有初始化，直接放在循环里面做了，不过效率肯定不高，下面是我第一种解法，可以和第二种对比一下。

 for(int i=1; i<=m; ++i){
        for(int j=1; j<=n; ++j){
            if(i == 1 || j == 1)
                B[i][j] = std::max(B[i-1][j], B[i][j-1]) + A[i-1][j-1]; 
            else
                B[i][j] = std::min(B[i-1][j], B[i][j-1]) + A[i-1][j-1]; 
        }   
    }   

其实最早的第一次解我都没有考虑到下标为1的应该是max，当时我直接只用了一个min，然后求得结果为11，还好我认识到了错误。

起始也不用std::max，直接相加就行了

下面看第二种完整代码，注意第二种只是参考，还有第三种，我没有删除这个是为了警示我自己考虑要周全，突然又想到的。

int min_path(const std::vector>& A)
{   
    if(A.size() == 0)
        return 0;
    
    int m = (int)A.size();
    int n = (int)A[0].size();
    std::vector> B(m+1, std::vector(n+1, 0));
    
    for(int i=1; i<=m; ++i)
        B[i][1] = B[i-1][1] + A[i-1][0];
    for(int j=1; j<=n; ++j)
        B[1][j] = B[1][j-1] + A[0][j-1];
        
    for(int i=2; i<=m; ++i){
        for(int j=2; j<=n; ++j){
            B[i][j] = std::min(B[i-1][j], B[i][j-1]) + A[i-1][j-1]; 
        }   
    }   
    
    return B[m][n];
}

第三种：分配同样的大小就可以了，不需要i-1和j-1了。

int min_path(const std::vector>& A)
{
    if(A.size() == 0)
        return 0;

    int m = (int)A.size();
    int n = (int)A[0].size();
    std::vector> B(m, std::vector(n, 0));
    
    B[0][0] = 1;
    for(int i=1; i

第三种直接分配相同大小的空间就可以了。唉，动态规划分配空间就是要么加1，要么不加1，我还是不够熟练。

测试用例：

int main()
{
    std::vector> A = { {1, 3, 5, 9},
                                        {8, 1, 3, 4},
                                        {5, 0, 6, 1},
                                        {8, 8, 4, 0}};
    int find = min_path(A);
    std::cout<<"the min path is : "<>::iterator iterator1;
    typedef std::vector::iterator iterator2;

    for(iterator1 iter= A.begin(); iter!=A.end(); ++iter){
        for(iterator2 it = (*iter).begin(); it!=(*iter).end(); ++it)
            std::cout<<*it<<' ';
        std::cout<

继续刷题中。。。