概率论第四章-随机变量的数字特征

四 随机变量的数字特征

1.数学期望

离散型
E(X)=∑∞k=1xkpk E ( X ) = ∑ k = 1 ∞ x k p k
连续性
概率密度为 f(x)

E(X)=∫∞−∞xf(x)dx E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x

若X=g(x),则把上面二式x换为g(x)。
Z=g(X,Y),概率密度f(x,y),则

E(Z)=E[g(X,Y)]=∫∞−∞∫∞−∞g(x,y)f(x,y)dxdy E ( Z ) = E [ g ( X , Y ) ] = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ g ( x , y ) f ( x , y ) d x d y

1.1 性质

• C是常数，E(C)=C。
• E(CX)=C E(X)
• E(X+Y)=E(X)+E(Y)
• X,Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)

2 方差

定义：若E{ [X-E(X)]^2^ }存在，则为X的方差，记为D(X)或Var(X).
标准差（或均方差） σ(X)=D(x)−−−−√ σ ( X ) = D ( x )
离散型

D(X)=∑k=1∞[x−E(X)]2f(x)dx D ( X ) = ∑ k = 1 ∞ [ x − E ( X ) ] 2 f ( x ) d x

连续型

D(X)=∫∞−∞[x−E(X)]2f(x)dx D ( X ) = ∫ − ∞ ∞ [ x − E ( X ) ] 2 f ( x ) d x

D(X)=E(X^2^)-[E(X)]^2^

2.1 方差性质

X具有（0，1）分布，X~ π(λ) π ( λ ) E(X)=D(X)= λ λ
X~U(a,b) E(X)= a+b2 a + b 2 D(X)= (b−a)212 ( b − a ) 2 12
X~b(n,p) E(X)=np D(X)=np(1-p)
X~N( μ μ , σ2 σ 2 ) E(X)= μ μ D(X)= σ2 σ 2
X服从指数分布，则其概率密度

f(x)={1θ0x>0x≤0(1) (1) f ( x ) = { 1 θ x > 0 0 x ≤ 0

E(X)= θ θ D(X)= θ2 θ 2
- C是常数,则D(C)=0
- D(CX)=C^2^ D(X) D(X+C)=D(X)
- D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{ ( X-E(X) ) (Y-E(Y) ) },若X,Y相互独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)
- D(X)=0 ⟺ ⟺ P{X=E(X)}=1

2.2 Chebyshev不等式

E(X)= μ μ , D(X)= σ2 σ 2 ,对于任意正数 ε ε ,P{|X- μ μ | ≥ε ≥ ε } ≤σ2ε2 ≤ σ 2 ε 2 ，或者
P{|X- μ μ | <ε < ε } ≥1−σ2ε2 ≥ 1 − σ 2 ε 2

3 协方差及相关系数

若X,Y相互独立，则E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0,即X与Y的协方差，记为Cov(X,Y),为0。
Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
X与Y的相关系数 ρXY ρ X Y = Cov(X,Y)D(X)√D(Y)√ C o v ( X , Y ) D ( X ) D ( Y )
Cov(X,Y)=Cov(Y,X) Cov(X,X)=D(X)
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(x,y)
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) #常用于计算协方差

3.1 协方差性质

• Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)
• Cov( X1+X2 X 1 + X 2 , Y Y )=Cov( X1,Y X 1 , Y )+Cov( X2,Y X 2 , Y )

3.2 协方差定理

|ρXY|≤1 | ρ X Y | ≤ 1
|ρXY|⟺ | ρ X Y | ⟺ 存在常数a，b，使 P{Y=a+bX}=1 P { Y = a + b X } = 1

4 矩、协方差定理