概率论 各种分布及其期望、方差、分布函数

概率论 各种分布及其期望、方差、分布函数

（0-1）分布

p(X=k)=pk(1−p)1−k p ( X = k ) = p k ( 1 − p ) 1 − k ,k=0,1

E(X)=p

D(X)=p(1-p)

二项分布 X~b(n,p)

p(X=k)=Cknpk(1−p)n−k p ( X = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k

E(X)=np

D(X)=np(1-p)

泊松分布 X~ π(λ) π ( λ )

p(X=k)=λke−λk! p ( X = k ) = λ k e − λ k !

E(X)= λ λ

D(X)= λ λ

均匀分布 X~U(a,b)

f(x)={1b−a,0,a<x<belseE(X)=a+b2D(X)=(b−a)212F(X)=⎧⎩⎨⎪⎪0,x−ab−a,1,x<aa≤x<bx≥b f ( x ) = { 1 b − a , a < x < b 0 , e l s e E ( X ) = a + b 2 D ( X ) = ( b − a ) 2 12 F ( X ) = { 0 , x < a x − a b − a , a ≤ x < b 1 , x ≥ b

指数分布

f(x)={1θe−xθ,0,x>0elseE(X)=θD(X)=θ2F(X)={1−e−xθ,0,x>0else f ( x ) = { 1 θ e − x θ , x > 0 0 , e l s e E ( X ) = θ D ( X ) = θ 2 F ( X ) = { 1 − e − x θ , x > 0 0 , e l s e

正态/高斯分布 X~N( μ,σ2 μ , σ 2 )

E(X)= μ μ

D(X)= σ2 σ 2

F(X)=P(X≤x)=ϕ(x−μσ) F ( X ) = P ( X ≤ x ) = ϕ ( x − μ σ )

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χ2 χ 2 分布 χ2∼χ2(n) χ 2 ∼ χ 2 ( n )

Xi∼N(0,1)n:自由度χ2=∑i=1nX2iE(χ2)=nD(χ2)=2nχ21+χ22∼χ2(n1+n2) X i ∼ N ( 0 , 1 ) n : 自 由 度 χ 2 = ∑ i = 1 n X i 2 E ( χ 2 ) = n D ( χ 2 ) = 2 n χ 1 2 + χ 2 2 ∼ χ 2 ( n 1 + n 2 )

t分布 t~t(n)

X∼N(0,1)Y∼χ2(n)t=XYn−−√ X ∼ N ( 0 , 1 ) Y ∼ χ 2 ( n ) t = X Y n

F分布 F~F( n1,n2 n 1 , n 2 )

U∼χ2(n1)V∼χ2(n2)F=U/n1V/n2 U ∼ χ 2 ( n 1 ) V ∼ χ 2 ( n 2 ) F = U / n 1 V / n 2

正态总体的样本均值 X¯ X ¯ 与样本方差 S2 S 2 的分布

E(X¯)=μD(X¯)=σ2nE(S2)=E[1n−1(∑i=1nX2i−nX¯2)]=1n−1[∑i=1nE(X2i)−nE(X¯2)]=1n−1[∑i=1n(σ2+μ2)−n(σ2n+μ2)]=σ2 E ( X ¯ ) = μ D ( X ¯ ) = σ 2 n E ( S 2 ) = E [ 1 n − 1 ( ∑ i = 1 n X i 2 − n X ¯ 2 ) ] = 1 n − 1 [ ∑ i = 1 n E ( X i 2 ) − n E ( X ¯ 2 ) ] = 1 n − 1 [ ∑ i = 1 n ( σ 2 + μ 2 ) − n ( σ 2 n + μ 2 ) ] = σ 2

Xi来自N(μ,σ2) X i 来 自 N ( μ , σ 2 ) ,则

X¯∼N(μ,σ2n)(n−1)S2σ2∼χ2(n−1)X¯与S2相互独立X¯−μS/n−−√∼t(n−1) X ¯ ∼ N ( μ , σ 2 n ) ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) X ¯ 与 S 2 相 互 独 立 X ¯ − μ S / n ∼ t ( n − 1 )

单个总体N( μ.σ2 μ . σ 2 )置信区间

(X¯±Sn−−√tα/2(n−1)) ( X ¯ ± S n t α / 2 ( n − 1 ) )

两个总体N(μ1.σ21)，N(μ2.σ22)的μ1−μ2置信水平1−α的置信区间 两 个 总 体 N ( μ 1 . σ 1 2 ) ， N ( μ 2 . σ 2 2 ) 的 μ 1 − μ 2 置 信 水 平 1 − α 的 置 信 区 间

(X¯−Y¯±tα/2(n1+n2−2)Sω1n1+1n2−−−−−−−−√)S2ω=(n1−1)S21+(n2−1)S22n1+n2−2,Sω=Sω2−−−√ ( X ¯ − Y ¯ ± t α / 2 ( n 1 + n 2 − 2 ) S ω 1 n 1 + 1 n 2 ) S ω 2 = ( n 1 − 1 ) S 1 2 + ( n 2 − 1 ) S 2 2 n 1 + n 2 − 2 , S ω = S ω 2