2019 ICPC 南昌邀请赛 B-Polynomial（拉格朗日插值法0~n）

暂时没有补题链接，等重现赛

题目

定义了$f_{(x)}=a_0+a_1{x}^1+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$，数字可能会非常大，所以对9999991取模。对于一个多项式，XH不知道任意一个 $a_i$，但是他知道$f_{(0)},f_{(1)},f_{(2)}\cdots f_{(n)}$ 的值，他想要计算$$\sum _{i=L}^R{f}_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9999991$$

分析

裸的拉格朗日插值，但是要变形一下。

拉格朗日总结模板链接

首先根据 $n+1$ 个点，可以用拉格朗日插值法插出一个 $n$ 次的多项式，题目给出了 0 到 n，$n+1$ 个点，那么我们可以插出 $f(x)$，

但是注意：题目让求的是 $f(x)$ 的区间和，

那么很自然可以想到求出预处理求出前缀和，那么区间和就是 $O(1)$了。定义前缀和$$S(x)=\sum _{i=0}^{x}f(i)$$

这里有个常识，n次多项式的前缀和是 n+1 次的多项式，也就是说 $S(x)$ 要通过 n+2 个点来求出，然而题目只给出了n+1 个点。

少的那一个点可以先通过 n+1 个点将 $f(x)$求出，之后得到 $f(n+1)$ ，之后就可以对 $S(x)$ 插值了。

关于代码方面，插值的函数我重载成了一个，传入的参数不同功能也不一样，但是本题求 $f(x),S(x)$ 的函数是一样的。

赛后打的仅过了样例，

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 9999991;
const int N = 1e3 + 10;

ll t, n, m, l, r;
ll a[N], sum[N], pre[N], suf[N], fac[N];

ll qpow(ll x, ll y){
    ll ans = 1;
    while(y){
        if(y&1)
            ans = ans * x % mod;
        x = x * x % mod, y >>= 1;
    }
    return ans;
}


/*  cal 函数，用从 0 到 up，一共 up+1 个数，
    传入的 a 数组代表 yi
    插值出原来的 up+2 次方的多项式
    并返回 原来的多项式在 x 出的取值。 
*/

ll cal(ll x, ll *a, ll up)        //计算 a(n+1)
{   
    ll ans = 0;
    pre[0] = x, suf[up+1] = 1;
    for(int i = 1; i <= up; i++){
        pre[i] = pre[i-1] * (x-i) % mod;
    }
    for(int i = up; i >= 0; i--){
        suf[i] = suf[i+1] * (x-i) % mod;
    }
    for(int i = 0; i <= up; i++){
        ll f = fac[up - i] * fac[i] % mod;
        f = (up - i) & 1 ? -f : f;
        (ans += a[i] * f % mod * (i == 0 ? 1 : pre[i - 1]) % mod * suf[i + 1]) %= mod;
    }
    ans += ans < 0 ? mod : 0;
    return ans;
}

void init()
{
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++){
        fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    }
    for(int i = 0; i < N; i++){
        fac[i] = qpow(fac[i], mod - 2);
    }
}

int main()
{
    init();
    scanf("%d", &t);
    while(t--){
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for(int i = 0; i <= n; i++){
            scanf("%d", &a[i]);
        }
        a[n+1] = cal(n+1, a, n);      //插出 f(n+1)
        // d(a[n + 1]);
        sum[0] = a[0];
        for(int i = 1; i <= n+1; i++){
            sum[i] = sum[i - 1] + a[i] % mod;
        }
        while(m--){
            scanf("%d%d", &l, &r);
            ll cnt = cal(r, sum, n+1) - cal(l - 1, sum, n+1);
            cnt += cnt < 0 ? mod : 0;
            printf("%lld\n", cnt);
        }
    }
    return 0;
}