Bzoj P1411 [ZJOI2009]硬币游戏___规律题

题目大意：

$2n$个位置，一开始奇数位置上有$n$个硬币，依次给出每个硬币是正面还是反面，正面为$1$，反面为$2$。其他位置为$0$，即没有硬币存在。
有$m$次操作，每次操作为：
在任意两个硬币之间放上一个硬币，然后将原来的硬币拿走；
所放硬币的正反面由它两边的两个硬币决定，若两个硬币均为正面朝上或反面朝上，则所放硬币为正面朝上，否则为反面朝上。
问操作$m$次之后$2n$个位置上对应的硬币的放置状态，空的输出$0$，有硬币的话，硬币是正面输出$1$，反面输出$2$
$n<=100000,m<=2^{60}$

分析：

不难发现题目中的每2次操作以后，都是回到初始状态的位置
回到初始状态的位置，即如果你当前是1,3,5,7……的位置，那么下次就是偶数位置序列，再下次就还是现在的奇数位置序列

而对于当前经过2次操作以后的新的硬币摆放状态，
根据在$xor$运算中，
$0$ xor $1=1,1$ $xor$ $0=1,0$ $xor$ $0=0,1$ $xor$ $1=0$
把正面设为$0$，反面设为$1$，
不难发现都是对经过2次操作之前的硬币摆放状态中相邻2个数求一个$xor和$，然后重新构成的状态
然后我们可以发现对于当前硬币状态$x$，
经过$2\ast 2^k$次操作以后的硬币摆放状态$y$，
$y$中的第$i$个元素即为$x$中的第$i-2^k$个数$xor$上第$i+2^k$个数 (注意这是首尾相连的序列)

证明如下，
设$k=x$的时候
满足当前序列$y$跟$2\ast 2^x$次操作之前的序列$XY$，每个$y_i=X{Y}_{i-2^x}$ $xor$ $X{Y}_{i+2^x}$
那么当$k=x+1$的时候
设当前序列为$z$，
则$XY$为$z$在$2\ast 2^{x+1}$次操作之前的序列
而$y$为$z$在$2\ast 2^x$次操作之前的序列
如果我把$y$当成初始序列，
那么此时的$k^{\prime }=k-1=x+1-1=x$，显然我们已经确定$k^{\prime }=x$是满足的，
所以此时每个$z_i=y_{i-2^x}$ $xor$ $y_{i+2^x}$
因为每个$y_i=X{Y}_{i-2^x}$ $xor$ $X{Y}_{i+2^x}$
所以每个$z_i=(X{Y}_{i-2^x-2^x}$ $xor$ $X{Y}_{i-2^x+2^x})$ $xor$ $(X{Y}_{i+2^x-2^x}$ $xor$ $X{Y}_{i+2^x+2^x})$
然后归纳一下可以得到
$z_i=X{Y}_{i-2^{x+1}}$ $xor$ $X{Y}_{i+2^{x+1}}=X{Y}_{i-2^k}$ $xor$ $X{Y}_{i+2^k}$
证毕
那么我们对$m/2$进行2进制拆分然后搞一下就可以了，注意一开始如果$m$是奇数就先把序列翻一遍然后再做。

$PS：不能输出行末空格，否则据说会有点难受$

代码：

 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
 
#define mp(x, y) memcpy(x, y, sizeof(y))
#define N 100005
 
using namespace std;
 
typedef long long ll;
 
int NowNum[N], A[N], n;
ll cdp, m;
 
int main()
{
    scanf("%d %lld", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &A[i]), -- A[i];
    if (m % 2)
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++) NowNum[i] = A[i] ^ A[i % n + 1];
        mp(A, NowNum);
    }
    cdp = m / 2;
    for (; cdp;)
    {
        ll x = cdp & (- cdp);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            int l = i - ll(x % n); if (l < 1) l += n;
            int r = i + ll(x % n); if (r > n) r -= n;
            NowNum[i] = A[l] ^ A[r];
        }
        mp(A, NowNum);
        cdp = cdp - x;
    }   
    if (m % 2) { for (int i = 1; i < n; i++) printf("0 %d ", A[i] + 1); printf("0 %d", A[n] + 1); } 
       else { for (int i = 1; i < n; i++) printf("%d 0 ", A[i] + 1); printf("%d 0", A[n] + 1); }
    return 0;
}