这是一个处理区间众数的经典题,这个题目是不带修改的
CLJ神犇的解题报告
定义一个集合 a a a 的众数为 m o d e ( a ) mode(a) mode(a)
首先,有一个非常显然的性质,即考虑集合 a , b a,b a,b,那么 m o d e ( a ∪ b ) ∈ m o d e ( a ) ∪ b mode(a \cup b) \in mode(a) \cup b mode(a∪b)∈mode(a)∪b
如果真的觉得不显然,那么就给个证明吧:
考虑反证法。假设 t t t 既不是 m o d e ( a ) mode(a) mode(a) 也不属于 b b b,那么它在 a ∪ b a\cup b a∪b 中出现的次数就是在 a a a 中出现的次数,这与 m o d e ( a ) mode(a) mode(a) 的定义矛盾,说明定理成立
我们不妨把长度为 n n n 的数列分成 n \sqrt n n 个块,则每个块的大小为 O ( n ) O(\sqrt n) O(n)
我们预处理数组 m o d [ i ] [ j ] mod[i][j] mod[i][j] 表示第 i i i 个块到第 j j j 个块的众数
我们考虑询问 [ l , r ] [l,r] [l,r]。
- l l l 到第 a a a 块的尾
- 元素 a + 1 a+1 a+1 块到 b − 1 b-1 b−1 块
- b b b 块首元素到 r r r
显然问题 2 2 2 我们已经预处理了出来,那么我们只需要根据定理, [ l , r ] [l,r] [l,r] 的众数,要么是 m o d [ a ] [ b ] mod[a][b] mod[a][b],要么是第 1 1 1 部分或第 3 3 3 部分的数。 第 1 1 1 和 3 3 3 部分大小都是 n \sqrt n n 的级别的,只需要枚举每个数在 [ l , r ] [l,r] [l,r] 中出现的次数即可。
怎么查询一个个数在 [ l , r ] [l,r] [l,r] 中出现的次数?
首先,我们把每个数在序列中出现的位置放到一个 v e c t o r \mathsf{vector} vector ,然后在 v e c t o r \mathsf{vector} vector 里进行二分查找就行了
第一种询问的时间复杂度为 O ( n l o g n ) O(\sqrt n~ log~ n) O(n log n)
预处理也能够通过类似方法做到 O ( n 1.5 l o g n ) O(n^{1.5}~log~n) O(n1.5 log n)
总的时间复杂度为 O ( ( n + q ) n l o g n ) O((n+q)\sqrt n~log~n) O((n+q)n log n)
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std ;
//#define int long long
#define rep(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++)
#define per(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); i--)
#define cont(i, x) for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt)
#define clr(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define ass(a, sum) memset(a, sum, sizeof(a))
#define lowbit(x) (x & -x)
#define all(x) x.begin(), x.end()
#define up upper_bound
#define lp lower_bound
#define pq priority_queue
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define iv inline void
#define enter cout << endl
#define siz(x) ((int)x.size())
typedef long long ll ;
typedef unsigned long long ull ;
typedef pair <int, int> pii ;
typedef vector <int> vi ;
typedef vector <pii> vii ;
typedef queue <int> qi ;
typedef queue <pii> qii ;
typedef set <int> si ;
typedef map <int, int> mii ;
typedef map <string, int> msi ;
const int N = 50010 ;
const int M = 510 ;
const int INF = 0x3f3f3f3f ;
const int iinf = 1 << 30 ;
const ll linf = 2e18 ;
const int MOD = 1000000007 ;
const double eps = 1e-7 ;
void print(int x) { cout << x << endl ; exit(0) ; }
void PRINT(string x) { cout << x << endl ; exit(0) ; }
void douout(double x){ printf("%lf\n", x + 0.0000000001) ; }
int a[N], f[N], bl[N], cnt[N], mode[M][M] ;
mii mp ;
int id, n, m, len, ans ;
vi v[N] ;
void build() {
len = sqrt(n) ;
rep(i, 1, n) {
scanf("%d", &a[i]) ;
if (!mp[a[i]]) mp[a[i]] = ++id, f[id] = a[i] ;
a[i] = mp[a[i]] ; // 对数组离散化
v[a[i]].pb(i) ;
}
rep(i, 1, n) bl[i] = (i - 1) / len + 1 ;
}
void pre(int x) { // 预处理第x~(x...n) 的众数
clr(cnt) ;
int mx = 0, ans = 0 ;
rep(i, (x - 1) * len + 1, n) {
cnt[a[i]]++ ;
int t = bl[i] ;
if (cnt[a[i]] > mx || (cnt[a[i]] == mx && f[a[i]] < f[ans])) ans = a[i], mx = cnt[a[i]] ;
mode[x][t] = ans ;
}
}
int find(int l, int r, int x) { // 二分求得x在l到r中出现的次数
return up(all(v[x]), r) - lp(all(v[x]), l) ;
}
int query(int l, int r) {
int ans, mx = 0 ;
if (bl[l] == bl[r]) {
rep(i, l, r) {
int t = find(l, r, a[i]) ;
if (t > mx || (t == mx && f[a[i]] < f[ans])) ans = a[i], mx = t ;
}
} else {
ans = mode[bl[l] + 1][bl[r] - 1], mx = find(l, r, ans) ;
rep(i, l, bl[l] * len) {
int t = find(l, r, a[i]) ;
if (t > mx || (t == mx && f[a[i]] < f[ans])) ans = a[i], mx = t ;
}
rep(i, (bl[r] - 1) * len + 1, r) {
int t = find(l, r, a[i]) ;
if (t > mx || (t == mx && f[a[i]] < f[ans])) ans = a[i], mx = t ;
}
}
return ans ;
}
signed main(){
scanf("%d%d", &n, &m) ;
build() ;
rep(i, 1, bl[n]) pre(i) ;
while (m--) {
int l, r ; scanf("%d%d", &l, &r) ;
l = (l + ans - 1) % n + 1, r = (r + ans - 1) % n + 1 ;
if (l > r) swap(l, r) ;
ans = f[query(l, r)] ;
printf("%d\n", ans) ;
}
return 0 ;
}
/*
写代码时请注意:
1.ll?数组大小,边界?数据范围?
2.精度?
3.特判?
4.至少做一些
思考提醒:
1.最大值最小->二分?
2.可以贪心么?不行dp可以么
3.可以优化么
4.维护区间用什么数据结构?
5.统计方案是用dp?模了么?
6.逆向思维?
*/