最小生成树及其衍生



          今天学了最小生成树的概念以及他的两个算法：Prime和Kruskal

Prime:将整个图分为两个连通分量，则连接两个分量的线当中权值最小的边一定在最小生成树中，因为两个连通分量中的各个点互相连通，所以需要一条边使两个分量相连，则权值越小越好。

步骤：先任选一个点加入集合中，设数组dis[i]为i到集合的最小距离。

        每次在dis[]中选择距离最小的点加入集合并更新dis[]，直到有N-1条边。

Kruskal:将所有的边从小到大排序，每次选择最小的边加入树中，

若u,v在不同的连通分量里（可用并查集判断）。加满N-1条边结束。

/*若题目已给出部分边，可在Prime中把权值设为0，也可在Kruskal

/*中把u,v弄为同一个连通分量（同时可判断加入的边里有哪些属于最小生成树）。

次小生成树:连通图里权值和仅次于最小生成树的树，与最小生成树只相差了一条边。因为最小生成树任意两个分量之间的边一定是最小的，所以只需要替换其中一条边就可的到次小，如果相差多条边的话，那么一定有处于两者中间的树。

1. 建立最小生成树，并用DP求出最小生成树中u,v两点间的路中权值最大的那条路的权值，最小生成树的权值和为ans.

2. 枚举所有不在最小生成树里的边（可在1操作中使用used数组记录，记录每一个节点的pre节点）。

3. 因为只要求每个点直接或间接相连即可，而不要求一笔走完，所以为了实现次小，替换u,v中权值最大的边（u,v有直接相连的边且此边不在最小生成树中），找到枚举完后的最小值，minn。

   将minn与ans进行比较，若相等，即不为唯一树，反之。

4. 代码（Poj 1679）：#include
   #include
   const int MAXN=550,INF=0x3f3f3f3f;
   int n,m,max[MAXN][MAXN],f[MAXN][MAXN],flag[MAXN],used[MAXN][MAXN],pre[MAXN];
   int xiao(int x,int y){
    if(x>y) return y; return x;
   }
   int da(int x,int y){
    if(x>y) return x; return y;
   }
   int Prime(int f[][MAXN]){
    int dis[MAXN],i,ans=0,j;
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    memset(used,false,sizeof(used));
    memset(max,0,sizeof(max));
    memset(flag,false,sizeof(flag));
    dis[1]=0; flag[1]=true; pre[1]=-1;
    for(i=1;i<=n;i++){
     if(f[1][i]!=0 && f[1][i]     dis[i]=f[1][i]; pre[i]=1;
     } 
    }
    for(i=1;i   int min=INF,t;
     for(j=1;j<=n;j++){
      if(flag[j]==false && min>dis[j]){
       min=dis[j]; t=j;
      }
     }
     used[t][pre[t]]=used[pre[t]][t]=true;
     ans+=dis[t];
     flag[t]=true;
     for(j=1;j<=n;j++){
      if(flag[j]==true) max[j][t]=max[t][j]=da(dis[t],max[j][pre[t]]);
      if(flag[j]==false && f[t][j]     dis[j]=f[t][j]; pre[j]=t;
      }
     }
    }
    
    return ans;
   }
   int pd(int ans){
    int i,j,minn=INF;
    for(i=1;i<=n;i++){
     for(j=i+1;j<=n;j++){
      if(f[i][j]!=INF && used[i][j]==false){
       minn=xiao(minn,ans+f[i][j]-max[i][j]);
      }
     }
    }
    return minn;
   }
   int main(){
    freopen("in.txt","r",stdin);
    int T; scanf("%d",&T);
    while(T--){
     scanf("%d%d",&n,&m);
     if(n==1){
      printf("0\n"); continue;
     }
     int i,j,ans;
     for(i=1;i<=n;i++)
     for(j=1;j<=n;j++){
      if(i==j) f[i][j]=0;
      f[i][j]=INF;
     }
     for(i=1;i<=m;i++){
      int xi,yi,ci; scanf("%d%d%d",&xi,&yi,&ci);
      f[xi][yi]=f[yi][xi]=ci;
     }
     ans=Prime(f);
     if(ans==pd(ans)) printf("Not Unique!\n");
     else printf("%d\n",ans);
    }
   }