组合游戏 - SG函数和SG定理
在介绍SG函数和SG定理之前我们先介绍介绍必胜点与必败点吧.
现在我们就来介绍今天的主角吧。组合游戏的和通常是很复杂的，但是有一种新工具，可以使组合问题变得简单————SG函数和SG定理。
Sprague-Grundy定理（SG定理）：
游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之，从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用，因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。不知道Nim游戏的请移步：这里
SG函数：
首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 这样 集合S 的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。
【实例】取石子问题
有1堆n个的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？
SG[0]=0，f[]={1,3,4},
x=1 时，可以取走1 - f{1}个石子，剩余{0}个，所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;
x=2 时，可以取走2 - f{1}个石子，剩余{1}个，所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;
x=3 时，可以取走3 - f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;
x=4 时，可以取走4- f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;
x=5 时，可以取走5 - f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;
以此类推.....
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....
SG[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....
由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤，那么计算1~n的SG函数值步骤如下：
1、使用 数组f 将 可改变当前状态 的方式记录下来。
2、然后我们使用 另一个数组 将当前状态x 的后继状态标记。
3、最后模拟mex运算，也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值，将其赋值给SG(x)。
4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤，就完成了 计算1~n 的函数值。
代码实现如下：
- //f[N]:可改变当前状态的方式，N为方式的种类，f[N]要在getSG之前先预处理
- //SG[]:0~n的SG函数值
- //S[]:为x后继状态的集合
- int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
- void getSG(int n){
- int i,j;
- memset(SG,0,sizeof(SG));
- //因为SG[0]始终等于0，所以i从1开始
- for(i = 1; i <= n; i++){
- //每一次都要将上一状态 的 后继集合 重置
- memset(S,0,sizeof(S));
- for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
- S[SG[i-f[j]]] = 1; //将后继状态的SG函数值进行标记
- for(j = 0;; j++) if(!S[j]){ //查询当前后继状态SG值中最小的非零值
- SG[i] = j;
- break;
- }
- }
- }
//f[N]:可改变当前状态的方式，N为方式的种类，f[N]要在getSG之前先预处理
//SG[]:0~n的SG函数值
//S[]:为x后继状态的集合
int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
void getSG(int n){
int i,j;
memset(SG,0,sizeof(SG));
//因为SG[0]始终等于0，所以i从1开始
for(i = 1; i <= n; i++){
//每一次都要将上一状态 的 后继集合 重置
memset(S,0,sizeof(S));
for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
S[SG[i-f[j]]] = 1; //将后继状态的SG函数值进行标记
for(j = 0;; j++) if(!S[j]){ //查询当前后继状态SG值中最小的非零值
SG[i] = j;
break;
}
}
}
现在我们来一个实战演练（题目链接）：
只要按照上面的思路，解决这个就是分分钟的问题。
代码如下：
- #include
- #include
- #define MAXN 1000 + 10
- #define N 20
- int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
- void getSG(int n){
- int i,j;
- memset(SG,0,sizeof(SG));
- for(i = 1; i <= n; i++){
- memset(S,0,sizeof(S));
- for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
- S[SG[i-f[j]]] = 1;
- for(j = 0;;j++) if(!S[j]){
- SG[i] = j;
- break;
- }
- }
- }
- int main(){
- int n,m,k;
- f[0] = f[1] = 1;
- for(int i = 2; i <= 16; i++)
- f[i] = f[i-1] + f[i-2];
- getSG(1000);
- while(scanf("%d%d%d",&m,&n,&k),m||n||k){
- if(SG[n]^SG[m]^SG[k]) printf("Fibo\n");
- else printf("Nacci\n");
- }
- return 0;
- }
#include
#include
#define MAXN 1000 + 10
#define N 20
int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
void getSG(int n){
int i,j;
memset(SG,0,sizeof(SG));
for(i = 1; i <= n; i++){
memset(S,0,sizeof(S));
for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
S[SG[i-f[j]]] = 1;
for(j = 0;;j++) if(!S[j]){
SG[i] = j;
break;
}
}
}
int main(){
int n,m,k;
f[0] = f[1] = 1;
for(int i = 2; i <= 16; i++)
f[i] = f[i-1] + f[i-2];
getSG(1000);
while(scanf("%d%d%d",&m,&n,&k),m||n||k){
if(SG[n]^SG[m]^SG[k]) printf("Fibo\n");
else printf("Nacci\n");
}
return 0;
}
大家是不是还没有过瘾，那我就在给大家附上一些组合博弈的题目：
POJ 2234 Matches Game
HOJ 4388 Stone Game II
POJ 2975 Nim
HOJ 1367 A Stone Game
POJ 2505 A multiplication game
ZJU 3057 beans game
POJ 1067 取石子游戏
POJ 2484 A Funny Game
POJ 2425 A Chess Game
POJ 2960 S-Nim
POJ 1704 Georgia and Bob
POJ 1740 A New Stone Game
POJ 2068 Nim
POJ 3480 John
POJ 2348 Euclid's Game
HOJ 2645 WNim
POJ 3710 Christmas Game
POJ 3533 Light Switching Game
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