[NTT] 快速数论变换学习笔记

我们学过了FFT（没学过看这里），发现很滋磁。但是FFT涉及小数，有可能有精度问题，所以这就很闹心了……发现精度问题出现在DFT和IDFT中求 sin 和 cos 导致精度问题和IDFT中乘以 1n 的精度问题，所以我们考虑能否在整数范围内实现FFT的过程。
那么整数范围内的问题需要数论解决，这就导致了NTT（也叫FNT）的诞生。
可以说，精度问题主要由 n 次单位根引起。回顾FFT，我们用了 n 次单位根，也就是 ωkn 的哪些性质？
好像也就是三个引理吧……
列出来所用的性质们：（一些条件有省略，具体请详见FFT学习笔记）
1、 ωnn=e2kπi=1 ；
2、 ∀i,j∈[0,n−1] 且 i,j∈Z,i≠j ， ωin≠ωjn ；
3、（折半引理） (ωkn)2=ωkn2 ， ωk+n2n=−ωkn ；
4、（求和引理） ∑j=0n−1(ωkn)j=0  (k≠0) 。
所以，我们需要在整数范围内找到一个符合这四条性质的一种数。于是我们找到了一种特殊的数——原根。
网上并没有统一的原根的定义，维基百科看不懂（我太弱了……），介绍一下性质。
1、对于一个质数 P ，如果存在原根 g ，则 gi≠gj  (modP ) 。其中 i≠j 。
别问我怎么证，有的讲稿是用它定义原根的……
有些证明用到了反证法（但是我觉得有点问题……）
了解就行。
于是这就符合了第二条。
然后，我们用 gφ(P)n 代替 n 次单位根进行计算，由 φ(P)=P−1 ，要求 φ(P)n 为整数， n 还是 2 的整数次幂，所以要求 P=k∗2q+1 ，其中 2q≥n 。
然后大力推式子，会发现所有的性质都符合……
如果模数任意呢？
如果要模数是 P ，那么多项式的所有系数和不会超过 n(P−1)2 。所以找出一组 p ，使得 pi=ki∗2qi+1 ，且：

∏i=0k−1pi>n(P−1)2

然后按每个 p 做NTT，然后CRT合并……
又双叒叕CRT合并……
本身NTT常数就比较大，和FFT差不多吧……（中间有快速幂）。
Po姐：“此外，一个答案模一个数的计数问题必须用NTT。”
板子以后补，接着挖坑……
这里是一些常用质数的原根。