Manacher(马拉车)算法——杨子曰算法

Manacher(马拉车)算法——杨子曰算法

马拉车？中华汉字真是博大精深……

---

今天我们曰的算法只能干一件事情——求一个字符串的最长回文子串（神马是回文子串就不用我说了吧）

---

首先我们来想一想大暴力怎么做
“我知道！枚举子串的头，枚举子串的尾，再暴力判断这个串是不是回文串，复杂度O（n³）”
杨子曰：“呃……太暴力了，能不能稍稍优化一下”
我们枚举回文字串的中心，然后向两边延伸，比较是否对称，一旦不对称了，马上换下一个字符作为中心，复杂度O（n²）

BUT，这个做法有一个大的弊端，就是偶数长度回文串的中心不是一个字符，比如abccba的回文中心就在两个c之间，这样一来就变得很难枚举，So，我们来做一个非常巧妙的预处理，我们可以在每个字符的中间，加上一个奇怪的符号，比如：♂，这样无论是奇回文串，还是偶回文串就都可以以字符为中心了，比如
偶回文串：abccba会变成♂a♂b♂c♂c♂b♂a♂
奇回文串：abcba会变成♂a♂b♂c♂b♂a♂
而且这样一来还有一个好处，假设加了奇怪符号后的回文串的半径为r（r是包括中心的），那么原来这个子串的长度就是r-1，岂不是美哉！

然而我们今天的主角：马拉车也是需要做这个预处理的（之后提到的字符串默认为预处理后的）

接下来我们将用线性的复杂度切掉它

黑喂狗：

---

我们会从左到右线性地扫描整个字符串，假设当前考虑到i的位置
先了解一下扫描过程中我们需要维护的东西：

• p[i]：以i为中心的最长回文串的半径
• mx：我们考虑过的最右端的位置
• id：包含了mx这一位置字符的最长回文串中心

机智的你一定发现了，我们最后的答案就是max(p[i])，那我们如何快速求出当前的p[i]呢？

1.如果i，也就是当前这个字符在回文中心为id的回文串里（绿色表示包含了考虑过的最右端mx的回文子串，它的回文中心就是id）

那么这是绿色左右关于id完全对称，也就是说i也在左边有一个对称点，我们可以用2×id-i找到，而p[2×id-i]，我们已经求过了，我们已经知道了以2×id-i为中心的回文子串（用红色表示）

如果i+p[2×id-i]
红色部分还没有超出绿色部分，有没有发现由于对称，p[i]=p[2*id-i]

但如果i+p[2×id-i]>=mx也就是长这样（蓝色红色共同表示以2*id-i为中心的回文子串）：

由于对称的只有绿色部分，So只有红色部分对i来说有作用，有人说：这时候i的红色部分左右还有可能可以扩展呀！没事，那我们就暴力去扩展就行了

2.i>=mx，也就是i不在绿色里面，那之前的绿色里的信息对i一点帮助也没有，长度只好从1开始暴力地往两边判断

这样一来，我们就完美地实现了马拉车算法

---

这个算法的复杂度为啥时O(n)捏？

这很显然，如果我们在考虑回文中心为i的回文串时右端点时不超过mx的，那么就可以用O(1)更新，如果右端点超过了mx，或者i>=mx，我们在暴力判断超过部分时mx也随之更新，mx是单调递增的，向右移动次数不会超过n，So，总复杂度就是O(n)

---

打代码时注意：

• 不要忘记每个p[i]算好时，都要和p[id]取max，更新id 和mx
• 用‘♂’作为预处理的字符纯属娱乐，真正使用可能会错，所以使用一些正常的字符，如：‘#’（只要没有在原串中出现过就行）

OK，完事

---

c++代码：

int manacher(char *s){
    int ans=0;
    int n=strlen(s);
    string t="#";
    for (int i=0;i<n;i++){
        t+=s[i];
        t+='#';
    }
    t+='@';//此时t为预处理后的字符串
    p[0]=1;
    int mx=0,id=0;
    n=t.length();
    for (int i=1;i<n;i++){
        if (i<mx) p[i]=min(p[2*id-i], mx-i);
        else p[i]=1;
        while(t[i-p[i]]==t[i+p[i]]) p[i]++;
        if (mx<i+p[i]) id=i,mx=i+p[i];
        ans=max(ans,p[i]-1);
    }
    return ans;
}

于HG机房