Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（25）— 消影点与消影线

              消影点与消影线

  透视投影的一个显著特征是延伸至无穷远的物体的图像可能出现在有限范围。

###1.消影点

  几何上一条世界直线的消影点由平行于该直线并过摄像机中心的射线与图像平面的交点得到。因此消影点仅依赖于直线的方向，而与其位置无关。如果世界直线平行于图像平面，那么消影点在图像的无穷远处。该世界直线可以用$X(\lambda )=A+\lambda D$来参数化，其中$A $是直线上的点，而$D=(d^T,0)T$。

结论1：  方向为$d $的3维空间直线的消影点是过摄像机中心且方向为$d $的射线与图像平面的交点$v $，即$v = Kd$。

####由消影点求摄像机旋转
  消影点是无穷远点的图像，它提供定向(姿态)信息的方式与不动星提供的方式类似，考虑由定向和位置不同的两个标定摄像机获取的一个景物的两幅图像。无穷远点作为景物的一部分与摄像机无关。它们的图像，即消影点，不受摄像机位置变化的影响，但要受摄像机旋转的影响。
  令一条景物直线在第一幅视图中的消影点是$v_i$，在第二幅视图中的是$v_i^{\prime }$，消影点$v_i$在第一个摄像机的欧氏坐标系中测量得到的方是$d_i=K^{-1}{v}_i/\Vert K^{-1}{v}_i\Vert$，而对应的消影点$v_i^{\prime }$，在第二个摄像机的欧氏坐标系中测量得到的方向是$d{’}_i$。则摄像机的旋转$d_i^{\prime }=R{d}_i$。

###2.消影线

  3维空间的平行平面与$\pi _\infty $交于一条公共的直线，而这条直线的图像就是平面的消影线。几何上，消影线由平行于景物平面并过摄像机中心的一张平面与图像的交线得到。显然， 消影线仅与景物平面的定向有关，而与它的位置无关。

• 在摄像机欧氏坐标系下，垂直于方向$n$的平面集的消影线是$l=K^{-T}n$。

####两条景物直线之间的夹角

结论2： 令$v_1$ , $v_2$是一幅图像中两条直线的消影点，而令$ω $为图像中绝对二次曲线的图像.。如果$\theta $是两直线方向间的夹角， 那么
$$\cos \theta =\frac{v_1^T\omega v_2}{\sqrt{v_1^T\omega v_1}\sqrt{v_2^T\omega v_2}}$$

####正交性关系

• 具有垂直方向的直线的消影点满足:$$v_1^T\omega v_2$$
• 一张平面的法线方向的消影点$v $可以按公式$v = ω ^*l $由平面的消影线$l $获得;反之有$$l=\omega v$$
• 两垂直平面的消影线满足$$l_1^T{\omega }^{\ast }{l}_2=0$$

###3.由消影点和消影线确定标定$K$
结论3： 如果$s=K_{12}=0$并且$[{\omega }_{ij}]=\omega =K^{-T}{K}^{-1}$，那么${\omega }_{12}={\omega }_{21}=0$。如果还满足${\alpha }_x=K_{11}=K_{22}={\alpha }_y$，那么${\omega }_{11}={\omega }_{22}$

####由三个正交消影点给定的标定二次曲线

• 首先构作顶点为三个消影点$v_1$，$v_2$，$v_3$的三角形。
• C 的中心是三角形的垂心。
• 关于中心反射其中的一个消影点(例如$v_1$)得到${\dot{v}}_1$
• 根据条件:${\dot{v}}_1$的极线过$v_2$，$v_3$来确定$C $的半径。