BTree和B+Tree详解

BTree和B+Tree详解

B+树索引是B+树在数据库中的一种实现，是最常见也是数据库中使用最为频繁的一种索引。B+树中的B代表平衡（balance），而不是二叉（binary），因为B+树是从最早的平衡二叉树演化而来的。在讲B+树之前必须先了解二叉查找树、平衡二叉树（AVLTree）和平衡多路查找树（B-Tree），B+树即由这些树逐步优化而来。

二叉查找树

二叉树具有以下性质：左子树的键值小于根的键值，右子树的键值大于根的键值。 
如下图所示就是一棵二叉查找树， 

对该二叉树的节点进行查找发现深度为1的节点的查找次数为1，深度为2的查找次数为2，深度为n的节点的查找次数为n，因此其平均查找次数为 (1+2+2+3+3+3) / 6 = 2.3次

二叉查找树可以任意地构造，同样是2,3,5,6,7,8这六个数字，也可以按照下图的方式来构造： 

 
但是这棵二叉树的查询效率就低了。因此若想二叉树的查询效率尽可能高，需要这棵二叉树是平衡的，从而引出新的定义——平衡二叉树，或称AVL树。

 

 

 

 

 

平衡二叉树（AVL Tree）

平衡二叉树（AVL树）在符合二叉查找树的条件下，还满足任何节点的两个子树的高度最大差为1。下面的两张图片，左边是AVL树，它的任何节点的两个子树的高度差<=1；右边的不是AVL树，其根节点的左子树高度为3，而右子树高度为1； 

如果在AVL树中进行插入或删除节点，可能导致AVL树失去平衡，这种失去平衡的二叉树可以概括为四种姿态：LL（左左）、RR（右右）、LR（左右）、RL（右左）。它们的示意图如下： 

这四种失去平衡的姿态都有各自的定义： 
LL：LeftLeft，也称“左左”。插入或删除一个节点后，根节点的左孩子（Left Child）的左孩子（Left Child）还有非空节点，导致根节点的左子树高度比右子树高度高2，AVL树失去平衡。

RR：RightRight，也称“右右”。插入或删除一个节点后，根节点的右孩子（Right Child）的右孩子（Right Child）还有非空节点，导致根节点的右子树高度比左子树高度高2，AVL树失去平衡。

LR：LeftRight，也称“左右”。插入或删除一个节点后，根节点的左孩子（Left Child）的右孩子（Right Child）还有非空节点，导致根节点的左子树高度比右子树高度高2，AVL树失去平衡。

RL：RightLeft，也称“右左”。插入或删除一个节点后，根节点的右孩子（Right Child）的左孩子（Left Child）还有非空节点，导致根节点的右子树高度比左子树高度高2，AVL树失去平衡。

AVL树失去平衡之后，可以通过旋转使其恢复平衡。下面分别介绍四种失去平衡的情况下对应的旋转方法。

LL的旋转。LL失去平衡的情况下，可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。步骤如下：

1. 将根节点的左孩子作为新根节点。

2. 将新根节点的右孩子作为原根节点的左孩子。

3. 将原根节点作为新根节点的右孩子。

LL旋转示意图如下： 

RR的旋转：RR失去平衡的情况下，旋转方法与LL旋转对称，步骤如下：

1. 将根节点的右孩子作为新根节点。

2. 将新根节点的左孩子作为原根节点的右孩子。

3. 将原根节点作为新根节点的左孩子。

RR旋转示意图如下： 

LR的旋转：LR失去平衡的情况下，需要进行两次旋转，步骤如下：

1. 围绕根节点的左孩子进行RR旋转。

2. 围绕根节点进行LL旋转。

LR的旋转示意图如下： 

RL的旋转：RL失去平衡的情况下也需要进行两次旋转，旋转方法与LR旋转对称，步骤如下：

1. 围绕根节点的右孩子进行LL旋转。

2. 围绕根节点进行RR旋转。

RL的旋转示意图如下： 

平衡多路查找树（B-Tree）

B-Tree是为磁盘等外存储设备设计的一种平衡查找树。因此在讲B-Tree之前先了解下磁盘的相关知识。

系统从磁盘读取数据到内存时是以磁盘块（block）为基本单位的，位于同一个磁盘块中的数据会被一次性读取出来，而不是需要什么取什么。

InnoDB 百度百科链接   https://baike.baidu.com/item/innodb/8970025?fr=aladdin

InnoDB存储引擎中有页（Page）的概念，页是其磁盘管理的最小单位。InnoDB存储引擎中默认每个页的大小为16KB，可通过参数innodb_page_size将页的大小设置为4K、8K、16K，在MySQL中可通过如下命令查看页的大小：

mysql> show variables like 'innodb_page_size';

 

而系统一个磁盘块的存储空间往往没有这么大，因此InnoDB每次申请磁盘空间时都会是若干地址连续磁盘块来达到页的大小16KB。InnoDB在把磁盘数据读入到磁盘时会以页为基本单位，在查询数据时如果一个页中的每条数据都能有助于定位数据记录的位置，这将会减少磁盘I/O次数，提高查询效率。

B-Tree结构的数据可以让系统高效的找到数据所在的磁盘块。为了描述B-Tree，首先定义一条记录为一个二元组[key, data] ，key为记录的键值，对应表中的主键值，data为一行记录中除主键外的数据。对于不同的记录，key值互不相同。

一棵m阶的B-Tree有如下特性： 
1. 每个节点最多有m个孩子。 
2. 除了根节点和叶子节点外，其它每个节点至少有Ceil(m/2)个孩子。 
3. 若根节点不是叶子节点，则至少有2个孩子 
4. 所有叶子节点都在同一层，且不包含其它关键字信息 
5. 每个非终端节点包含n个关键字信息（P0,P1,…Pn, k1,…kn） 
6. 关键字的个数n满足：ceil(m/2)-1 <= n <= m-1 
7. ki(i=1,…n)为关键字，且关键字升序排序。 
8. Pi(i=1,…n)为指向子树根节点的指针。P(i-1)指向的子树的所有节点关键字均小于ki，但都大于k(i-1)

B-Tree中的每个节点根据实际情况可以包含大量的关键字信息和分支，如下图所示为一个3阶的B-Tree：

 

每个节点占用一个盘块的磁盘空间，一个节点上有两个升序排序的关键字和三个指向子树根节点的指针，指针存储的是子节点所在磁盘块的地址。两个关键词划分成的三个范围域对应三个指针指向的子树的数据的范围域。以根节点为例，关键字为17和35，P1指针指向的子树的数据范围为小于17，P2指针指向的子树的数据范围为17~35，P3指针指向的子树的数据范围为大于35。

模拟查找关键字29的过程：

1. 根据根节点找到磁盘块1，读入内存。【磁盘I/O操作第1次】

2. 比较关键字29在区间（17,35），找到磁盘块1的指针P2。

3. 根据P2指针找到磁盘块3，读入内存。【磁盘I/O操作第2次】

4. 比较关键字29在区间（26,30），找到磁盘块3的指针P2。

5. 根据P2指针找到磁盘块8，读入内存。【磁盘I/O操作第3次】

6. 在磁盘块8中的关键字列表中找到关键字29。

分析上面过程，发现需要3次磁盘I/O操作，和3次内存查找操作。由于内存中的关键字是一个有序表结构，可以利用二分法查找提高效率。而3次磁盘I/O操作是影响整个B-Tree查找效率的决定因素。B-Tree相对于AVLTree缩减了节点个数，使每次磁盘I/O取到内存的数据都发挥了作用，从而提高了查询效率。

B+Tree

B+Tree是在B-Tree基础上的一种优化，使其更适合实现外存储索引结构，InnoDB存储引擎就是用B+Tree实现其索引结构。

从上一节中的B-Tree结构图中可以看到每个节点中不仅包含数据的key值，还有data值。而每一个页的存储空间是有限的，如果data数据较大时将会导致每个节点（即一个页）能存储的key的数量很小，当存储的数据量很大时同样会导致B-Tree的深度较大，增大查询时的磁盘I/O次数，进而影响查询效率。在B+Tree中，所有数据记录节点都是按照键值大小顺序存放在同一层的叶子节点上，而非叶子节点上只存储key值信息，这样可以大大加大每个节点存储的key值数量，降低B+Tree的高度。

B+Tree相对于B-Tree有几点不同：

1. 非叶子节点只存储键值信息。

2. 所有叶子节点之间都有一个链指针。

3. 数据记录都存放在叶子节点中。

将上一节中的B-Tree优化，由于B+Tree的非叶子节点只存储键值信息，假设每个磁盘块能存储4个键值及指针信息，则变成B+Tree后其结构如下图所示： 

通常在B+Tree上有两个头指针，一个指向根节点，另一个指向关键字最小的叶子节点，而且所有叶子节点（即数据节点）之间是一种链式环结构。因此可以对B+Tree进行两种查找运算：一种是对于主键的范围查找和分页查找，另一种是从根节点开始，进行随机查找。

可能上面例子中只有22条数据记录，看不出B+Tree的优点，下面做一个推算：

InnoDB存储引擎中页的大小为16KB，一般表的主键类型为INT（占用4个字节）或BIGINT（占用8个字节），指针类型也一般为4或8个字节，也就是说一个页（B+Tree中的一个节点）中大概存储16KB/(8B+8B)=1K个键值（因为是估值，为方便计算，这里的K取值为〖10〗^3）。也就是说一个深度为3的B+Tree索引可以维护10^3 * 10^3 * 10^3 = 10亿 条记录。

实际情况中每个节点可能不能填充满，因此在数据库中，B+Tree的高度一般都在2~4层。mysql的InnoDB存储引擎在设计时是将根节点常驻内存的，也就是说查找某一键值的行记录时最多只需要1~3次磁盘I/O操作。

数据库中的B+Tree索引可以分为聚集索引（clustered index）和辅助索引（secondary index）。上面的B+Tree示例图在数据库中的实现即为聚集索引，聚集索引的B+Tree中的叶子节点存放的是整张表的行记录数据。辅助索引与聚集索引的区别在于辅助索引的叶子节点并不包含行记录的全部数据，而是存储相应行数据的聚集索引键，即主键。当通过辅助索引来查询数据时，InnoDB存储引擎会遍历辅助索引找到主键，然后再通过主键在聚集索引中找到完整的行记录数据。

 

红黑树

https://blog.csdn.net/sun_tttt/article/details/65445754

 

 

红黑树是一个平衡的二叉树，但不是一个完美的平衡二叉树。虽然我们希望一个所有查找都能在~lgN次比较内结束，但是这样在动态插入中保持树的完美平衡代价太高，所以，我们稍微放松逛一下限制，希望找到一个能在对数时间内完成查找的数据结构。这个时候，红黑树站了出来。 
阅读以下需要了解普通二叉树的插入以及删除操作。 
红黑树是在普通二叉树上，对没个节点添加一个颜色属性形成的，同时整个红黑二叉树需要同时满足一下五条性质 
红黑树需要满足的五条性质： 
性质一：节点是红色或者是黑色； 
在树里面的节点不是红色的就是黑色的，没有其他颜色，要不怎么叫红黑树呢，是吧。 
性质二：根节点是黑色； 
根节点总是黑色的。它不能为红。 
性质三：每个叶节点（NIL或空节点）是黑色； 
这个可能有点理解困难，可以看图： 
 
这个图片就是一个红黑树，NIL节点是个空节点，并且是黑色的。 
性质四：每个红色节点的两个子节点都是黑色的（也就是说不存在两个连续的红色节点）； 
就是连续的两个节点不能是连续的红色，连续的两个节点的意思就是父节点与子节点不能是连续的红色。

**性质五：从任一节点到其没个叶节点的所有路径都包含相同数目的黑色节点；**

还是看图：

· 1

· 2

· 3

 
从根节点到每一个NIL节点的路径中，都包含了相同数量的黑色节点。 
这五条性质约束了红黑树，可以通过数学证明来证明，满足这五条性质的二叉树可以将查找删除维持在对数时间内。 
当我们进行插入或者删除操作时所作的一切操作都是为了调整树使之符合这五条性质。 
下面我们先介绍两个基本操作，旋转。 
旋转的目的是将节点多的一支出让节点给另一个节点少的一支，旋转操作在插入和删除操作中经常会用到，所以要熟记。

下面是左旋和右旋：

左旋：

 
右旋： 

下面讲讲插入

我们先明确一下各节点的叫法 

因为要满足红黑树的这五条性质，如果我们插入的是黑色节点，那就违反了性质五，需要进行大规模调整，如果我们插入的是红色节点，那就只有在要插入节点的父节点也是红色的时候违反性质四或者是当插入的节点是根节点时，违反性质二，所以，我们把要插入的节点的颜色变成红色。

下面是可能遇到的插入的几种状况： 
1、当插入的节点是根节点时，直接涂黑即可； 
2、当要插入的节点的父节点是黑色的时候。 
 
这个时候插入一个红色的节点并没有对这五个性质产生破坏。所以直接插入不用在进行调整操作。

3、如果要插入的节点的父节点是红色且父节点是祖父节点的左支的时候。 
这个要分两种情况，一种是叔叔节点为黑的情况，一种是叔叔节点为红的情况。 
当叔叔为黑时，也分为两种情况，一种是要插入的节点是父节点的左支，另一种是要插入的节点是父亲的右支。 
我们先看一下当要插入的节点是父节点的左支的情况：

 
这个时候违反了性质四，我们就需要进行调整操作，使之符合性质四，我们可以通过对祖父节点进行右旋同时将祖父节点和父节点的颜色进行互换，这样就变成了： 
 
经过这样的调整可以符合性质四并且不对其他性质产生破坏。 
当插入的节点是父节点的右支的时候： 
 
当要插入的节点是父节点的右支的时候，我们可以先对父节点进行左旋，变成如下： 
 
如果我们把原先的父节点看做是新的要插入的节点，把原先要插入的节点看做是新的父节点，那就变成了当要插入的节点在父节点的左支的情况，对，是的，就是按照当要插入的节点在父节点的左支的情况进行旋转，旋转完之后变成如下： 
 
4、如果要插入的节点的父节点是红色且父节点是祖父节点的右支的时候； 
这个时候的情况跟情况3所表述的情况是一个镜像，将情况3的左和右互换一下就可以了。 
5、如果要插入的节点的父节点是红色并且叔叔节点也为红色，如下： 
 
这个时候，只需将父亲节点和叔叔节点涂黑，将祖父节点涂红。

以上就是插入的全部过程。 
下面我们再讲讲删除的操作：

首先你要了解普通二叉树的删除操作： 
1.如果删除的是叶节点，可以直接删除； 
2.如果被删除的元素有一个子节点，可以将子节点直接移到被删除元素的位置； 
3.如果有两个子节点，这时候就可以把被删除元素的右支的最小节点（被删除元素右支的最左边的节点）和被删除元素互换，我们把被删除元素右支的最左边的节点称之为后继节点（后继元素），然后在根据情况1或者情况2进行操作。如图： 
 
将被删除元素与其右支的最小元素互换，变成如下图所示：

 
然后再将被删除元素删除：

 

我们下面所称的被删除元素，皆是指已经互换之后的被删除元素。 
加入颜色之后，被删除元素和后继元素互换只是值得互换，并不互换颜色，这个要注意。

下面开始讲一下红黑树删除的规则： 
1.当被删除元素为红时，对五条性质没有什么影响，直接删除。 
2.当被删除元素为黑且为根节点时，直接删除。 
3.当被删除元素为黑，且有一个右子节点为红时，将右子节点涂黑放到被删除元素的位置，如图： 
由 
 
变成 

4.当被删除元素为黑，且兄弟节点为黑，兄弟节点两个孩子也为黑，父节点为红，此时，交换兄弟节点与父节点的颜色；NIL元素是指每个叶节点都有两个空的，颜色为黑的NIL元素，需要他的时候就可以把它看成两个黑元素，不需要的时候可以忽视他。 
如图： 
由 
 
变成： 
 
5.当被删除元素为黑、并且为父节点的左支，且兄弟颜色为黑，兄弟的右支为红色，这个时候需要交换兄弟与父亲的颜色，并把父亲涂黑、兄弟的右支涂黑，并以父节点为中心左转。如图： 
由：

 
变成：

 
6.当被删除元素为黑、并且为父节点的左支，且兄弟颜色为黑，兄弟的左支为红色，这个时候需要先把兄弟与兄弟的左子节点颜色互换，进行右转，然后就变成了规则5一样了，在按照规则5进行旋转。如图： 
由 
 
先兄弟与兄弟的左子节点颜色互换，进行右转，变成：

 
然后在按照规则5进行旋转，变成： 
 
7.当被删除元素为黑且为父元素的右支时，跟情况5.情况6 互为镜像。 
8.被删除元素为黑且兄弟节点为黑，兄弟节点的孩子为黑，父亲为黑，这个时候需要将兄弟节点变为红，再把父亲看做那个被删除的元素（只是看做，实际上不删除），看看父亲符和哪一条删除规则，进行处理变化如图： 
由： 
 
变成： 
 
8.当被删除的元素为黑，且为父元素的左支，兄弟节点为红色的时候，需要交换兄弟节点与父亲结点的颜色，以父亲结点进行左旋，就变成了情况4，在按照情况四进行操作即可，变化如下： 
由：

 
交换兄弟节点与父亲结点的颜色，以父亲结点进行左旋 变成： 
 
在按照情况四进行操作，变成： 

好了，删除的步骤也讲完，没有讲到的一点就是，在添加删除的时候，时刻要记得更改根元素的颜色为黑。 
这里并没有语言实现，只是讲了一下红黑树的插入删除步骤，你可以根据步骤自己把红黑树实现。

点击这里，照着规则一步一步的构建一个红黑树吧。（这里是别人的一个链接）

最后： 
1.红黑树的实现其实是一个2、3、4树，只是将双节点或者三节点用红色进行了标示，如果你将红色节点放到和它父元素相同的高度，并把它和父元素看做是一个元素，你就会发现，变成了一个高度为lgN的二叉树，这个2.3.4树对红黑树很有启发意义。 
2.上面的步骤其实可以不用死记硬背，是可以推导出来的，因为我们是把一个平衡但通过插入或者删除破坏了平衡的红黑树再次平衡，同过旋转让位，改变红黑颜色，使之符合那五条基本性质。比如遇到删除操作情况四的时候，我们可以把那个删除元素去除，发现左边比右边少一个黑元素，这个时候，怎么办，我们发现兄弟节点的子元素有一个红元素，操作这个不会影响那五条性质，所以我们通过变换颜色，旋转，即可让左右两边的的黑色数目一样。 
3.旋转操作的目的是出让一个元素到另外的地方并且符合二叉树左小右大的性质，交换颜色的目的是为了保持红黑树的那五条性质。 
4.要时刻记得 ，一切的操作都是为了保持那五条性质。

最后的最后，其实还有一种更为简单的红黑二叉树，这个简单的红黑二叉树实际上是一个2.3树，他只允许左节点为红节点，但是性能上肯定是不如这个红黑树。这个简单的红黑二叉树在《算法》第四版有介绍，掌握完之后再看这个简单的红黑二叉树，就会觉着简单 easy。 
最后的最后的最后，一定要尝试着自己推导一下插入删除规则啊，不然经常忘，是睡一觉起来再看就有点懵逼的那种忘。

 

我也不知道自己在哪里看到的，如有侵权立即删除。