最小费用最大流算法

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算法引入：
任何容量网络的最大流流量是唯一且确定的，但是它的最大流f并不是唯一的;
既然最大流f不唯一，因此，如果每条弧上不仅有容量限制，还有费用r;
即每条弧上有一个单位费用的参数，那么在保证最大流的前提下;
还存在一个选择费用最小的最大流问题，即为最小费用最大流问题;

算法思想：
寻找最大流的方法是从某个可行流出发，找到关于这个流的一条增广路P;
沿着P调整f，对新的可行流又试图寻找关于它的增广路，循环直至不存在增广路为止;
要求最小费用最大流：
如果f是流量为f1的可行流中费用最小者，而p是关于f的所有增广路中费用最小的增广路;
那么沿着p去调整f，得到可行流_f，就是流量为f1的所有可行流中的费用最小者;
这样当f是最大流时，它也就是所要求的最小费用最大流了;

算法内容：
在寻找关于f的最小费用增广路的过程中;
需要构造一个关于f的伴随网络W(f);
把在原网络中寻找关于f的最小费用增广路转换为在伴随网络W(f)中寻找从Vs到Vt的最短路问题;

其中伴随网络W(f)构造为：
顶点为原网络中的顶点;
原网络中的每条弧变成两个方向相反的弧和;
在W(f)中每条弧的权值为：
if(f(u,v)0)
    W(v,u)=-r(u,v);
else if(f(u,v)==0)
    W(v,u)=无穷大(可省略);

算法流程：
①开始取f(0)={0};
②一般若在第k-1步得到的最小费用流为f(k-1),则构造伴随网络W(f(k-1));
③在W(f(k-1))中寻找从Vs到Vt的最短路，若不存在则转⑤，存在转④;
④在原网络G中得到相应的增广路P，在P上对f(k-1)进行调整;调整后新的可行流为f(k)，转②;
⑤f(k-1)为最小费用最大流，算法完毕;

算法测试：
HDU1533,ZOJ2404,POJ2195(Going Home);
题意：
在一个网络地图上，有n个小人和n栋房子;
在每个单位时间内，每个人可以往水平方向或垂直方向移动一步，走到相邻的方格中;
对于每个小人，走一步需支付一美元，直到他走入房子里，且每栋房子只能容纳一个人;
求让n个小人移动到n个不同的房子，求需要支付的最小费用;
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#include
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using namespace std;

int n,m;
const int N=250;
const int M=10000;
const int MAX=0xffffff;
char coord[N][N];//坐标集
int pre[M];//存储前驱顶点
int dist[M];//存储到源点s的距离

int inq[M];//每个顶点是否在队列中的标志
int min_c_f;//记录增广路径中的残留容量
int vertex;//顶点数
int sum;//保存最小费用

struct element
{
    int c;//容量
    int f;//流
    int c_f;//残留容量
    int v;//价值
} G[N][N];

struct man//记录小矮人的坐标
{
    int x,y;
} man[N];
struct house//记录房子的坐标
{
    int x,y;
} house[N];

void init()
{
    sum=0;
    int mcase,hcase;//记录有多少个小矮人和房子
    mcase=hcase=0;
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            cin>>coord[i][j];
            if(coord[i][j]=='m')//记录小矮人的坐标
            {
                mcase++;
                man[mcase].x=i;
                man[mcase].y=j;
            }
            if(coord[i][j]=='H')//记录房子的坐标
            {
                hcase++;
                house[hcase].x=i;
                house[hcase].y=j;
            }
        }
    }

    vertex=mcase+hcase+1;//加入超源点0和超汇点，注意要+1，即抽象成网络流的结构
    for(int u=0; u<=vertex; u++)//初始流为0，所以不用重构W(f);
    {
        for(int v=0; v<=vertex; v++)
        {
            G[u][v].c=G[v][u].c=0;
            G[u][v].c_f=G[v][u].c_f=0;
            G[u][v].f=G[v][u].f=0;
            G[u][v].v=G[v][u].v=MAX;
        }
    }

    for(int i=1; i<=mcase; i++)
    {
        G[0][i].v=0;//从超源点到各个小矮人之间的权值取为0
        G[0][i].c=G[0][i].c_f=1;//从超源点到各个小矮人之间的容量取为1
        for(int j=1; j<=hcase; j++)
        {
            int w=abs(house[j].x-man[i].x)+abs(house[j].y-man[i].y);//计算小矮人到每一个房子之间的距离
            G[i][mcase+j].v=w;//将距离赋给对应的权值，注意第二个下标，即表示房子的下标为mcase+j~！！
            G[i][mcase+j].c=1;//容量取为1
            G[i][mcase+j].c_f=G[i][mcase+j].c;
            G[mcase+j][vertex].v=0;//将从各个房子到超汇点之间的权值取为0，注意房子的下标为mcase+j
            G[mcase+j][vertex].c=G[mcase+j][vertex].c_f=1;//将从各个房子到超汇点之间的容量取为0，注意房子的下标为mcase+j
        }
    }
}

void SPFA(int s)//求最短路径的SPFA算法
{
    queue Q;
    int u;
    for(int i=0; i<=vertex; i++)//初始化
    {
        dist[i]=MAX;
        pre[i]=-1;
        inq[i]=0;
    }
    dist[s]=0;
    Q.push(s);
    inq[s] = 1;
    while(!Q.empty())
    {
        u=Q.front();
        Q.pop();
        inq[u]=0;
        for(int i=0; i<=vertex; i++)//更新u的邻接点的dist[], pre[], inq[]
        {
            int v=i;
            if(G[u][v].c_f==0)     // 表示(u,v)没有边
                continue;
            if(G[u][v].v==MAX)
                G[u][v].v=-G[v][u].v;
            if(dist[v]>dist[u]+G[u][v].v)//松弛操作
            {
                dist[v]=dist[u]+G[u][v].v;
                pre[v]=u;
                if(inq[v]==0)
                {
                    Q.push(v);
                    inq[v]=1;
                }
            }
        }
    }
}

void ford_fulkerson(int s,int t)
{
    SPFA(s);
    while(pre[t]!=-1)//pre为-1表示没有找到从s到t的增广路径
    {
        //cout< G[u][v].c_f)
                min_c_f=G[u][v].c_f;
            v=u;
            u=pre[v];
        }
        u=pre[t], v=t;
        while(u!=-1)
        {
            G[u][v].f+=min_c_f; //修改流
            G[v][u].f=-G[u][v].f;
            G[u][v].c_f=G[u][v].c-G[u][v].f; //修改残留容量
            G[v][u].c_f=G[v][u].c-G[v][u].f;
            v=u;
            u=pre[v];
        }
        SPFA(s);
    }
}

int main()
{
    //freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\kd.txt","r",stdin);
    while(cin>>m>>n,m||n)
    {
        init();
        ford_fulkerson(0,vertex);//计算从超源点0到超汇点vertex之间的最小费用最大流
        cout<