堆和堆排序

优先级队列

优先级队列是一个由相同类型的数据元素组成的集合，其中每个数据项都带有一个特定的优先级。它支持insert元素操作，findMin访问优先级最小元素的操作，deleteMin删除优先级最小元素的操作，当然，也可能是支持findMax访问优先级最大元素的操作，deleteMax删除优先级最大元素的操作，以需求而定。
有两种很自然的方法来实现优先级队列：
一种是使用无序队列（数组、向量或链表实现）。两种基本操作的实现方法及时间复杂度如下：

• 插入：把数据项插入到队尾或队头。时间复杂度：O(1)。
• 删除：遍历队列找出优先级最高或最低的项，然后删除。时间复杂度：O(n)。

另一种是使用 有序队列（数组、向量或链表实现）。
两种基本操作的实现方法及时间复杂度如下：

• 插入：基本线性插入排序。时间复杂度：O(n)。
• 删除：删除队头和队尾的项。时间复杂度：O(1)。

当然，还有一个可能的实现是 二叉查找树，但二叉查找树很容易变得不平衡，这样，插入和删除效率便会大大降低，另外，二叉查找树实现了比优先级队列更多的功能，可以想见，它必然也消耗了更多的资源。所以，将二叉查找树用作优先级队列的实现，实在太大材小用了。
当当当当！我们今天的主角登场了。 堆，或称作二叉堆，是“已知的最优雅的数据结构之一”。堆是实现优先级队列的典型方法，两种基本操作时间复杂度如下：

• 插入：最坏情况下时间复杂度为O(logn)；平均情况下时间复杂度为O(1)，业已证明，执行一次插入平均需要 2.607 次比较，因此平均 insert 操作上移元素 1.607层。
• 删除：在平均情况和最坏情况下时间复杂度均为O(logn)。

表现简直完美！STL中的priority_queue类模板就是采用二叉堆来实现的。

堆

堆是符合下列性质的二叉树：

1. 结构属性：堆是一棵完全树。
2. 顺序属性：每个结点中的数据项都大于或等于儿子的数据项。

以上的顺序结构是针对最大堆而言的，最小堆的叙述则恰好相反。下面的讲解都默认为最大堆。
一般采用数组或向量来实现堆，初次接触这个事实可能会感到奇怪，因为我们所接触过的树结构都是使用链式结构来实现的。采用数组或向量来实现堆效率更高，这主要是因为堆没有在中间位置删除和插入元素的需求，另外堆是一棵完全树，方便索引。
一个最大堆结构如下图所示，它既是一棵二叉树，也是一个数组。

我们来看看堆的基本操作:
1、 插入操作（insert）
插入操作的过程很简单：将新数据插入到堆的下一个空位，然后向上渗透直到二叉树重新满足堆的顺序属性为止。

实现代码：

//插入操作在平均情况下花费常量时间，在最坏情况下花费对数时间
//业已证明，执行一次插入平均需要 2.607 次比较，因此平均 insert 操作
//上移元素 1.607层。
template
void BinaryHeap::insert(const T& value)
{
    if(theSize+1==theArray.size())
        theArray.resize(theArray.size()*2);
    int hole = ++theSize;
    //hole==1时已是最高点，不可向上渗透了。
    for(;value1;hole/=2)
        theArray[hole] = theArray[hole/2];
    theArray[hole] = value;
}

2、下滤操作（percolate down）
近似堆的定义是，二叉树根结点的左右子树均为堆，但整体不满足堆的顺序属性。下滤操作是把近似堆调整为堆的过程。
该过程也很简单：找到一个较大的儿子，如果该结点比儿子小，则和儿子交换位置。重复上述过程直到二叉树满足堆的顺序属性。
下图展示了对结点2进行下滤操作的过程。

实现代码：

template
void  BinaryHeap::percolateDown(int hole)
{
    int child;
    T temp = theArray[hole];
    for (;hole*2<=theSize;hole=child)
    {
        child = hole*2;
        if(child!=theSize && theArray[child+1]

我并没有单独列出删除操作（delete），这是因为删除操作主要过程就是下滤操作：删除根结点，将堆最后面的数据项复制到根结点，执行下滤操作。
实现代码：

//删除操作在平均情况和最坏情况下都需要对数时间
template
void BinaryHeap::deleteMin()
{
    if(isEmpty())
        throw exception();
    theArray[1]=theArray[theSize--];
    percolateDown(1);
}
 

3、 建堆操作（build heap）
建堆操作是把一棵完全二叉树转换成堆。这是堆排序中的关键操作。该操作的具体过程为：从最后一个非叶子节点开始到根结点，依次执行下滤操作。
下图展示了构建一个最大堆的过程。

实现代码：

template
void BinaryHeap::buildHeap()
{
    for(int i=theSize/2;i>0;--i)
        percolateDown(i);
}

点击此处查看最小堆类模板完整源代码

堆排序

顾名思义，堆排序是利用堆的特性来对一组数据进行排序。堆排序可分为以下个步骤（从小到大排序）：

1. 对所有n个数据进行建堆（最大堆）操作。
2. 将堆顶元素和堆尾元素交换，对剩下的n-1个数据进行建堆（最大堆）操作。
3. 重复步骤2直至堆的大小为1，此时数据完成排序。

有两个问题需要重视：

1. 被排序的数据从0开始索引，所以父亲和孩子的位置都有了相应的变化。父亲的位置由i/2变为(i-1)/2，左孩子的位置由2i变为2i+1，右孩子的位置由2i+1变为2i+2。
2. 下滤操作需要知道当前堆的大小。

实现代码：

template
void percolateDown(vector& vec,int i,int length)
{
    int child;
    T temp = vec[i];
    for(;2*i+1<=length-1;i=child)
    {
        child = 2*i+1;
        if(childtemp)
            vec[i] = vec[child];
        else
            break;
    }
    vec[i] = temp;
}
 
template
void heapSort(vector& vec)
{
    for(int i = vec.size()/2;i>=0;--i)
        percolateDown(vec,i,vec.size());
    for (int j = vec.size()-1;j!=0;--j)
    {
        swap(vec[0],vec[j]);
        percolateDown(vec,0,j);
    }
}
 
void main()
{
    int a[]={312,33,44,5,6,4,2,3,4,5,6,76,8,6,88768,5345,43,432};
    vector vec(a,a+sizeof(a)/sizeof(*a));
    for (int i=0;i!=vec.size();++i)
        cout<

在PercolateDown算法中，在每一个阶段中考虑的项的数目是前一阶段的一半。因此，与二叉查找树的情况类似，这个算法的最坏计算时间是O(logn)。由于BuildHeap操作执行了n/2次PercolateDown操作，其最坏计算时间是O(nlogn)。HeapSort执行一次BuildHeap操作和n-1次PercolateDown操作，因此其最坏计算时间是O(nlogn)。

声明：文中三幅插图来自《算法导论》第三版英文版。

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