数论知识总结（乘法逆元，欧拉函数，线性筛，快速幂，快速乘等）

数论总结
内容：欧拉函数，欧拉定理，费马小定理，中国剩余定理，欧几里得定理，扩展欧几里得定理，逆元，线性筛、卡特兰数、快速幂、快速乘、矩阵乘法。

欧拉函数：A={ x | 1 < =x < n, gcd(x,n) = 1} 特殊的质数p的欧拉函数为p-1，
p的a次方的欧拉函数为p的a次方减p的a-1次方，可以在线性筛的过程中求出欧拉函数复杂度O（n）

代码为：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 1000005;
int isnot[N], prime[N], n, ptot, phi[N];

void line_oula() {
    isnot[1] = 1;
    phi[1] = 1;
    for ( int i = 2; i <= n; i++ ) {
        if ( !isnot[i] ) prime[ptot++] = i, phi[i] = i - 1;
        for ( int t = 0; t < ptot; t++ ) {
            int j = prime[t] * i;
            if ( j > n ) break;
            isnot[j] = true;
            phi[j] = phi[prime[t]] * phi[i];//phi[nm]=phi[n]*phi[m] gcd(n,m) = 1
            if ( i % prime[t] == 0 ) {
                phi[j] = prime[t] * phi[i];//phi[p*i]=phi[p*p*k]=phi[k*p*p]=phi[k]*phi[p]*p=p*phi[i]
                break;
            }
        }
    }
}
int main() {
    scanf( "%d", &n );
    line_oula();
    for ( int i = 1; i <= n; i++ )
    cout << phi[i] << endl;
}

在求递推公式的时候分两种情况详见代码。

欧拉定理： 当gcd（a，n）=1时，
此定理的一个推论为费马小定理：当n取质数时

同时扩展而来可得逆元的多种求法：
逆元：ax≡1 (mod p),且gcd(a,p)=1（a与p互质），则称a关于模p的乘法逆元为x。
1、 用费马小定理：两边同乘a的逆元可得a的逆元为a的p-2次方mod p，
注意：此算法需要p为质数！一般用快速幂直接求得，此求法为欧拉定理的特殊化，当p不为质数时用欧拉定理即可两边同乘a的逆元，但需多算一个欧拉函数。
代码：略。
2、 用扩展欧几里得定理：设ax 除以p为t余数为1
则可得pt+1=ax化为方程为pt-ax=1方程可以用扩展欧几里得求出，
扩展欧几里得：d = gcd（a，b）可以表示为 d = ax + by
代码：略。
注意：此算法当p无需为质数
3、 用递推公式求得：令p = aq + r mod(p) 两边同乘a的逆元和r的逆元可得
a的逆元为负的r的逆元乘q mod （p）
代码为：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 1000005;

int inva[N], n, p;

void inverse() {
    inva[1] = 1;
    for ( int i = 2; i <= n; i++ )
    inva[i] = ( -( p / i * inva[p%i] ) % p + p ) % p;
}

int main() {
    scanf( "%d%d", &n, &p );
    inverse();
    for ( int i = 1; i <= n ; i++ )
    cout << inva[i] << endl;
    return 0;
}

注意：此算法p必须为质数！！！

卡特兰数：递推公式h[1] = 1,h[n] = h[n-1] *(4*n-2)/(n+1)

快速幂
代码：

long long fpow( long long a, long long b )
{
    long long ans = 1;
    for ( ; b; b >>= 1, a = ( a%MOD * a%MOD ) % MOD )
    if ( b & 1 ) ans = (ans%MOD * a % MOD)%MOD;
    return ans;
}

快速乘：
代码：

long long fcheng( long long a, long long b )
{
    long long ans = 0;
    for ( ; b; b >>= 1,a = ( a%MOD + a%MOD ) % MOD )
    if ( b & 1 ) ans = (ans%MOD + a%MOD) % MOD;
    return ans;
}