回溯法－算法框架及基础

回溯法其实也是一种搜索算法，它可以方便的搜索解空间。
回溯法解题通常可以从以下三步入手：
1、针对问题，定义解空间
2、确定易于搜索的解空间结构
3、以深度优先的方式搜索解空间，并在搜索的过程中进行剪枝
回溯法通常在解空间树上进行搜索，而解空间树通常有子集树和排列树。
针对这两个问题，算法的框架基本如下：
用回溯法搜索子集合树的一般框架：

Cpp代码

1. void backtrack(int t){   
2.   if(t > n) output(x);   
3.   else{   
4.     for(int i = f(n,t); i <= g(n,t);i++){   
5.           x[t] = h(i);   
6.           if(constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1);   
7.      }   
8.   }   
9. } 
10. 
    
11. 用回溯法搜索排列树的算法框架：
    

Cpp代码

1. void backtrack(int t){   
2.   if(t > n) output(x);   
3.   else{   
4.     for(int i = f(n,t); i <= g(n,t);i++){   
5.           swap(x[t],x[i]);   
6.           if(constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1);   
7.           swap(x[t],x[i]);    
8.     }   
9.   }   
10. }  

其中f(n,t),g(n,t)表示当前扩展结点处未搜索过的子树的起始标号和终止标号,
h(i)表示当前扩展节点处，x[t]第i个可选值。constraint(t)和bound(t)是当前
扩展结点处的约束函数和限界函数。constraint(t)返回true时，在当前扩展结点
x[1:t]取值满足约束条件，否则不满足约束条件，可减去相应的子树。bound(t)返
回的值为true时，在当前扩展结点x[1:x]处取值未使目标函数越界，还需要由backtrack(t+1)
对其相应的子树进一步搜索。
用回溯法其实质上是提供了搜索解空间的方法，当我们能够搜遍解空间时，
显然我们就能够找到最优的或者满足条件的解。这便是可行性的问题， 而效率可以
通过剪枝函数来降低。但事实上一旦解空间的结构确定了，很大程度上时间复杂度
也就确定了，所以选择易于搜索的解空间很重要。
下面我们看看两个最简单的回溯问题，他们也代表了两种搜索类型的问题：子集合问题和
排列问题。
第一个问题：
求集合s的所有子集(不包括空集),我们可以按照第一个框架来写代码：

Cpp代码

1. #include   
2. using namespace std;   
3.   
4. int s[3] = {1,3,6};   
5. int x[3];   
6. int  N = 3;   
7. void print(){   
8.    for(int j = 0; j < N; j++)   
9.     if(x[j] == 1)   
10.        cout << s[j] << " ";   
11.    cout << endl;   
12. }   
13.   
14. void subset(int i){   
15.     if(i >= N){   
16.         print();   
17.         return;   
18.     }   
19.   
20.     x[i] = 1;//搜索右子树   
21.     subset(i+1);   
22.     x[i] = 0;//搜索左子树   
23.     subset(i+1);   
24. }   
25.   
26. int main(){   
27.   subset(0);   
28.   return 0;   
29. }  

下面我们看第二个问题：排列的问题，求一个集合元素的全排列。
我们可以按照第二个框架写出代码：

Cpp代码

1. #include   
2. using namespace std;   
3.   
4. int a[4] = {1,2,3,4};   
5. const int N = 4;   
6.   
7. void print(){   
8.     for(int i = 0; i < N; i++)   
9.            cout << a[i] << " ";   
10.     cout << endl;   
11. }   
12.   
13. void swap(int *a,int i,int j){   
14.   int temp;   
15.   temp = a[i];   
16.   a[i] = a[j];   
17.   a[j] = temp;   
18. }   
19.   
20. void backtrack(int i){   
21.     if(i >= N){   
22.         print();   
23.     }   
24.     for(int j = i; j < N; j++){   
25.         swap(a,i,j);   
26.         backtrack(i+1);   
27.         swap(a,i,j);   
28.     }   
29. }   
30.   
31. int main(){   
32.   backtrack(0);   
33.   return 0;   
34. }  

这两个问题很有代表性，事实上有许多问题都是从这两个问题演变而来的。第一个问题，它穷举了所有问题的子集，这是所有第一种类型的基础，第二个问题,它给出了穷举所有排列的方法，这是所有的第二种类型的问题的基础。理解这两个问题,是回溯算法的基础.
下面看看一个较简单的问题：
整数集合s和一个整数sum，求集合s的所有子集su,使得su的元素之和为sum。
这个问题很显然是个子集合问题，我们很容易就可以把第一段代码修改成这个问题的代码：

Cpp代码

1. int sum = 10;   
2. int r = 0;   
3. int s[5] = {1,3,6,4,2};   
4. int x[5];   
5. int  N = 5;   
6.   
7. void print(){   
8.    for(int j = 0; j < N; j++)   
9.     if(x[j] == 1)   
10.        cout << s[j] << " ";   
11.    cout << endl;   
12. }   
13. void sumSet(int i){   
14.     if(i >= N){   
15.         if(sum == r) print();   
16.         return;   
17.     }   
18.     if(r < sum){//搜索右子树   
19.       r += s[i];   
20.       x[i] = 1;   
21.       sumSet(i+1);   
22.       r -= s[i];    
23.     }   
24.     x[i] = 0;//搜索左子树   
25.     sumSet(i+1);   
26. }   
27.   
28. int main(){   
29.   sumSet(0);   
30.   return 0;   
31. }  

                                                        八皇后问题

八皇后问题是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上.
问题分析:
第一步 定义问题的解空间
这个问题解空间就是8个皇后在棋盘中的位置.
第二步 定义解空间的结构
可以使用8*8的数组，但由于任意两个皇后都不能在同行，我们可以用数组下标表示
行，数组的值来表示皇后放的列，故可以简化为一个以维数组x[9]。
第三步 以深度优先的方式搜索解空间，并在搜索过程使用剪枝函数来剪枝
根据条件:x[i] == x[k]判断处于同一列
abs(k-i) == abs(x[k]-x[i]判断是否处于同一斜线
我们很容易写出剪枝函数：

Cpp代码

1. bool canPlace(int k){   
2.     for(int i = 1; i < k; i++){   

         //判断处于同一列或同一斜线            if (x[i] == x[k] || abs(k-i) == abs(x[k]-x[i]))               return   false ;        }         return   true ;    }  

然后我们按照回溯框架一，很容易写出8皇后的回溯代码：

Cpp代码

1. void queen(int i){   
2.     if(i > 8){   
3.         print();   
4.         return;   
5.     }   
6.     for(int j = 1; j <= 8; j++){   
7.       x[i] = j;//记录所放的列   
8.       if(canPlace(i)) queen(i+1);   
9.     }   
10. }  

整个代码：

Cpp代码

1. #include   
2. #include   
3. using namespace std;   
4.   
5. int x[9];   
6. void print(){   
7.     for(int i = 1; i <= 8; i++)   
8.            cout << x[i] << " ";   
9.     cout << endl;   
10. }   
11.   
12. bool canPlace(int k){   
13.     for(int i = 1; i < k; i++){   
14.             //判断处于同一列或同一斜线   
15.        if(x[i] == x[k] || abs(k-i) == abs(x[k]-x[i]))    
16.            return false;   
17.     }   
18.     return true;   
19. }   
20.   
21. void queen(int i){   
22.     if(i > 8){   
23.         print();   
24.         return;   
25.     }   
26.     for(int j = 1; j <= 8; j++){   
27.       x[i] = j;   
28.       if(canPlace(i)) queen(i+1);   
29.     }   
30. }   
31.   
32. int main(){   
33.   queen(1);   
34.   return 0;   
35. }  

                                      0-1背包问题

0-1背包问题:给定n种物品和一背包.物品i的重量是wi, 其价值为ui,背包的容量为C.
问如何选择装入背包的物品,使得装入背包中物品的总价值最大?
分析:
0-1背包是子集合选取问题,一般情况下0-1背包是个NP问题.
第一步　确定解空间：装入哪几种物品
第二步　确定易于搜索的解空间结构：
可以用数组p,w分别表示各个物品价值和重量。
用数组x记录，是否选种物品
第三步　以深度优先的方式搜索解空间，并在搜索的过程中剪枝
我们同样可以使用子集合问题的框架来写我们的代码，和前面子集和数问题相差无几。

Cpp代码

1. #include   
2. #include   

using   namespace  std;       class  Knapsack{    public :        Knapsack( double  *pp, double  *ww, int  nn, double  cc){           p = pp;           w = ww;           n = nn;           c = cc;           cw = 0;           cp = 0;           bestp = 0;           x =  new   int [n];           cx =  new   int [n];        }            void  knapsack(){           backtrack(0);         }            void  backtrack( int  i){ //回溯法             if (i > n){                 if (cp > bestp){                   bestp = cp;                    for ( int  i = 0; i < n; i++)                 x[i] = cx[i];                }                 return ;            }                if (cw + w[i] <= c){ //搜索右子树              cw += w[i];              cp += p[i];              cx[i] = 1;              backtrack(i+1);              cw -= w[i];              cp -= p[i];            }            cx[i] = 0;            backtrack(i+1); //搜索左子树        }            void  printResult(){           cout <<  "可以装入的最大价值为:"  << bestp << endl;           cout <<  "装入的物品依次为:" ;            for ( int  i = 0; i < n; i++){              if (x[i] == 1)                 cout << i+1 <<  " " ;           }           cout << endl;        }       private :        double  *p,*w;        int  n;        double  c;        double  bestp,cp,cw; //最大价值，当前价值，当前重量        int  *x,*cx;    };       int  main(){    　　 double  p[4] = {9,10,7,4},w[4] = {3,5,2,1};        Knapsack ks = Knapsack(p,w,4,7);        ks.knapsack();    　　ks.printResult();    　　 return  0;    }