hdu5412：CRB and Queries （整体二分+树状数组）

题目传送门：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5412

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题目大意：现在给出序列A，要求你支持以下两个操作：
1 l v：将l位置的数修改成v
2 l r k：询问l到r的数中第k大的数是多少
多组测试数据。

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题目分析：这题是我人生中的第一道整体二分题啊……写错了几个SB的地方导致3A。

我们先将每一个1操作变成两个修改操作：Update(l,A[l],-1);Update(l,v,1)，表示在l的位置，值为A[l]的数个数-1，值为v的数个数+1。这样我们将一开始的序列A变成Update(i,A[i],1)。既然每一个位置最后只会存一个数，为什么要搞得这么麻烦呢？这主要是为了方便我们之后按照数值对修改和询问进行划分。

然后我们开始整体二分，说白了就是二分答案，只不过我们要同时二分出很多个询问的答案。首先我们要明白一点：修改与询问之间的时间顺序不能打乱。于是我们一开始先将所有操作按时间顺序排好，并且我们当前的答案区间为[1,maxR]，其中maxR是一个很大的数，然后我们令mid=(1+maxR)>>1。对于每一个询问操作，它的最终答案要么大于mid（等会儿递归到右边[mid+1,maxR]处理），要么小于等于mid（等会儿递归到左边[1,mid]处理），但如何知道它的答案和mid的大小关系呢？

我们可以这样：记cnt[i]=j表示当前第i位有j个数小于等于mid（很明显j只会是0或1），然后按时间顺序扫一遍操作序列。对于一个Update(x,v,temp)的修改，我们看一下是否有v<=mid，有则令cnt[x]+=temp。对于一个查询[l,r]第k小，我们看一下cnt[l]~cnt[r]的和sum与k的关系。若其大于等于k，则说明这个查询的答案小于mid，否则大于mid。若k>sum，则还要让k-=sum，至于为什么等会儿再说。快速求区间和可以用树状数组。

这样我们就知道每一个查询操作等会儿应该递归到哪边了。那么修改操作应该怎么分呢？如果修改Update(x,v,temp)中的v>mid，它对最终答案在[1,mid]的询问肯定没有影响，直接划分到右边。如果v<=mid，它对最终答案在[mid+1,maxR]的询问会有影响，但由于上面我们让k-=sum，它对那些询问的影响已经通过计算贡献的方法消除了，于是可以直接递归到左边（这和平衡树上的二叉查找有点类似）。

现在我们总结一下：我们先算出答案区间[L,R]的中点mid，然后通过扫一遍操作序列，套用树状数组，算出每一个询问的最终答案和mid的关系。我们再算答案的时候还顺便将递归左边的询问对右边的查询的影响消除了。最后我们将操作分为左右两半递归处理，其中左右两半的操作的相对时间顺序不变。这样的时间复杂度是多少呢？这个算法一共要递归log(maxR)层，每一层操作的总时间为nlog(n)，于是时间复杂度为 O(nlog(n)log(maxR)) 。

我们来分析一下这个算法的特点：①相比树套树而言，它所需要的空间更小②它必须离线，而且修改对询问的贡献是可以分开计算的，这和cdq分治类似③和cdq分治相比，它是在二分答案，二分的途中将操作分为两半，但不一定均分，而cdq分治则是对操作序列均分，统计完左边的修改对右边的查询的贡献后递归。

这里还有一些实现上的小细节：①我们每一次用完树状数组之后，要清空树状数组，而且必须将修改操作Update(x,v,temp)的temp取反做一遍以清空树状数组，不能用memset之类的，否则时间会退化成 O(n2) （当然啦，如果用线段树则直接打个懒惰标记即可）②如果递归[L,mid]或[mid+1,R]的时候，发现没有询问的答案在这个区间里面，就不要往下做。否则将log(maxR)层的递归全部展开，时间是maxRlog(maxR)而不是nlog(maxR)。③递归的结束条件为L=R，此时递归进这里的所有询问操作的答案设为L，然后退出递归。

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CODE：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

const int maxn=100100;
const int maxR=1000000000;

struct data
{
    int id,K,X,Y,ans;
} work[maxn*3];
int cur;

int bit[maxn];

bool Left[maxn*3];
int a[maxn*3];
int b[maxn*3];

int A[maxn];
int n,m;

int Sum(int x)
{
    int sum=0;
    while (x)
    {
        sum+=bit[x];
        x-=(x&(-x));
    }
    return sum;
}

void Add(int x,int v)
{
    while (x<=n)
    {
        bit[x]+=v;
        x+=(x&(-x));
    }
}

void Binary(int L,int R,int x,int y)
{
    if (L==R)
    {
        for (int i=x; i<=y; i++)
        {
            int z=a[i];
            if (work[z].id) work[z].ans=L;
        }
        return;
    }//limit

    int mid=(L+R)>>1;
    for (int i=x; i<=y; i++)
    {
        int z=a[i];
        if (work[z].id)
        {
            int num=Sum(work[z].Y)-Sum(work[z].X-1);
            if (work[z].K<=num) Left[i]=true;
            else work[z].K-=num;
        }
        else
            if (work[z].X<=mid)
            {
                Add(work[z].K,work[z].Y);
                Left[i]=true;
            }
    }//judge

    for (int i=x; i<=y; i++)
        if (Left[i])
        {
            int z=a[i];
            if (!work[z].id) Add(work[z].K,-work[z].Y);
        }// clear bit

    int cnt1=0;
    for (int i=x; i<=y; i++) if (Left[i]) b[++cnt1]=a[i];
    int cnt2=cnt1;
    for (int i=x; i<=y; i++) if (!Left[i]) b[++cnt2]=a[i];
    for (int i=x; i<=y; i++) Left[i]=false;
    for (int i=1; i<=cnt2; i++) a[x+i-1]=b[i];//Rebuild,clear Left

    if (cnt1) Binary(L,mid,x,x+cnt1-1);
    if (cnt11,R,x+cnt1,y);
}

int main()
{
    freopen("5412.in","r",stdin);
    freopen("5412.out","w",stdout);

    scanf("%d",&n);
    while (n)
    {
        cur=0;
        for (int i=1; i<=n; i++)
        {
            scanf("%d",&A[i]);
            cur++;
            work[cur].id=0;
            work[cur].K=i;
            work[cur].X=A[i];
            work[cur].Y=1;
        }

        scanf("%d",&m);
        for (int i=1; i<=m; i++)
        {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            if (x==1)
            {
                int l,v;
                scanf("%d%d",&l,&v);

                cur++;
                work[cur].id=0;
                work[cur].K=l;
                work[cur].X=A[l];
                work[cur].Y=-1;

                A[l]=v;
                cur++;
                work[cur].id=0;
                work[cur].K=l;
                work[cur].X=A[l];
                work[cur].Y=1;
            }
            else
            {
                cur++;
                scanf("%d%d%d",&work[cur].X,&work[cur].Y,&work[cur].K);
                work[cur].id=1;
            }
        }

        for (int i=1; i<=cur; i++) a[i]=i;
        Binary(1,maxR,1,cur);
        for (int i=1; i<=cur; i++)
            if (work[i].id) printf("%d\n",work[i].ans);

        n=0;
        scanf("%d",&n);
    }

    return 0;
}