多项式乘法优化 学习笔记

今早重新看了myy的论文，又掌握了一些多项式乘法的新姿势，于是写一篇blog巩固一下QAQ。

---

①如何用一次DFT加一次IDFT求出两个实序列A和B的卷积？

这里我们只要求卷积后的结果，不需要求DFT的值，所以有一种很简便的方法：令复数序列C的实部为A，虚部为B。将其自卷，所得结果虚部的值除以2就是要求的多项式。

这个十分容易证明：

C2[k]=∑j=0kC[j]C[k−j] C 2 [ k ] = ∑ j = 0 k C [ j ] C [ k − j ]

=∑j=0k(A[j]+i∗B[j])(A[k−j]+i∗B[k−j]) = ∑ j = 0 k ( A [ j ] + i ∗ B [ j ] ) ( A [ k − j ] + i ∗ B [ k − j ] )

=∑j=0k(A[j]A[k−j]−B[j]B[k−j])+i∗∑j=0k(A[j]B[k−j]+B[j]A[k−j]) = ∑ j = 0 k ( A [ j ] A [ k − j ] − B [ j ] B [ k − j ] ) + i ∗ ∑ j = 0 k ( A [ j ] B [ k − j ] + B [ j ] A [ k − j ] )

---

②如何用一次DFT同时求出两个实序列在单位复数根处的点值？

这个推导就很复杂了，大概就是一堆三角函数和 i i 换来换去，具体要看myy的论文，我也不再赘述。最终概括一下做法，就是设：

P(x)=A(x)+i∗B(x) P ( x ) = A ( x ) + i ∗ B ( x )

Q(x)=A(x)−i∗B(x) Q ( x ) = A ( x ) − i ∗ B ( x )

令 P(x),Q(x) P ( x ) , Q ( x ) 在单位复数根处的点值表达分别为 FP,FQ F P , F Q ，则可以证明 FP(k) F P ( k ) 与 FQ(N−k) F Q ( N − k ) 互为共轭复数。因此只需要对 P(x) P ( x ) 进行DFT即可。然后会有：

DFTA=FP+FQ2 D F T A = F P + F Q 2

DFTB=FP−FQ2i D F T B = F P − F Q 2 i

（myy论文里第二条式子写的是乘以 i i ，不过我觉得是除以 i i 才对）

---

③关于单位复数根 ωkN ω N k ：

这个有三种算法。一种是累乘，时间快但精度不高。还有一种是直接每次用 2πkN 2 π k N 的三角函数去算，这样比较慢，但精度高。最后一种是预处理，然后用vector之类的存下来。第三种方法比较折中，在拆系数+FFT处理任意模数多项式卷积的时候经常用。

---

贴一份模板题（洛谷P3803）的CODE：
因为只用了两次DFT，所以完全不怕卡常

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

const int maxn=4000000;
const double pi=acos(-1.0);

struct Complex
{
    double X,Y;
    Complex (double a=0.0,double b=0.0) : X(a),Y(b) {}
} ;

Complex operator+(Complex a,Complex b){return Complex(a.X+b.X,a.Y+b.Y);}
Complex operator-(Complex a,Complex b){return Complex(a.X-b.X,a.Y-b.Y);}
Complex operator*(Complex a,Complex b){return Complex(a.X*b.X-a.Y*b.Y,a.X*b.Y+a.Y*b.X);}

Complex A[maxn];
Complex B[maxn];

vector  w[maxn];
int Rev[maxn];
int N,Lg;

int F[maxn];
int G[maxn];
int n,m;

void DFT(Complex *a,double f)
{
    for (int i=0; iif (ifor (int len=2; len<=N; len<<=1)
    {
        int mid=(len>>1);
        for (Complex *p=a; p!=a+N; p+=len)
            for (int i=0; iif (f==-1.0) temp.Y=-temp.Y;
                temp=temp*p[mid+i];
                p[mid+i]=p[i]-temp;
                p[i]=p[i]+temp;
            }
    }
}

void FFT()
{
    N=1,Lg=0;
    while (N4) N<<=1,Lg++;
    for (int i=0; ifor (int j=0; jif (i&(1<1<<(Lg-j-1));

    int len=1;
    while ((len<<1)<=N)
    {
        double ang=pi/len;
        for (int i=0; icos(ang*(double)i) , sin(ang*(double)i) ) );
        len<<=1;
    }

    for (int i=0; idouble)F[i],(double)G[i]);
    DFT(A,1.0);
    for (int i=0; ifor (int i=0; i2.0;
        a.Y/=2.0;
        B[i]=A[i]-B[i];
        B[i].X/=2.0;
        B[i].Y/=2.0;
        swap(B[i].X,B[i].Y);
        B[i].Y=-B[i].Y;
        A[i]=a;
    }
    for (int i=0; i1.0);
    for (int i=0; idouble)N);
    for (int i=0; iint)floor( A[i].X+0.5 );
}

int main()
{
    freopen("3803.in","r",stdin);
    freopen("3803.out","w",stdout);

    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=0; i<=n; i++) scanf("%d",&F[i]);
    for (int i=0; i<=m; i++) scanf("%d",&G[i]);

    FFT();
    for (int i=0; i<=n+m; i++) printf("%d ",F[i]);
    printf("\n");

    return 0;
}