UOJ#348：【WC2018】州区划分 （FMT优化DP）

题目传送门：http://uoj.ac/problem/348

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题目分析：题面就是要求将n个点划分为若干个集合，使得刚好包含某个集合的点以及它们之间的边的子图不存在欧拉回路。然后题面给出了一种方法计算某种方案的贡献。

由于n很小，不妨先用h[s]表示s中的点能不能刚好划分为一个集合。算出h[]的时间是 O(n22n) O ( n 2 2 n ) 的。对于题面给出的式子，我们发现每个集合的贡献只跟它前面那些集合的大小之和有关，于是可以分开计算。令f[s]表示将s中的点进行划分的贡献，考虑最后一个集合t，很明显有：

f[s]=∑t∈s,t≠∅f[s−t]∗h[t]∗sum[t]psum[s]p f [ s ] = ∑ t ∈ s , t ≠ ∅ f [ s − t ] ∗ h [ t ] ∗ s u m [ t ] p s u m [ s ] p

变形一下：

f[s]∗sum[s]p=∑t∈s,t≠∅f[s−t]∗(h[t]∗sum[t]p) f [ s ] ∗ s u m [ s ] p = ∑ t ∈ s , t ≠ ∅ f [ s − t ] ∗ ( h [ t ] ∗ s u m [ t ] p )

这就是个子集卷积。根据VFleaKing在2015年国集论文中的方法，只需要开多一维，用f[i][s]表示一个可重集合的元素个数为i，且去重后为s的贡献。按i从小到大计算或卷积即可，f[|s|][s]便是子集卷积的真实值。时间复杂度 O(n22n) O ( n 2 2 n ) 。

（其实这题的DP模型并不难，会FMT的话也能很快优化到时限以内，作为WC的题或许太简单了点QAQ）

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CODE：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

const int maxn=24;
const int maxs=(1<<21)+100;
const int M=998244353;

int F[maxn][maxs];
int f[maxn][maxs];
int g[maxn][maxs];

int cnt[maxs];
int Num[maxs];

int sum[maxs];
int rev_sum[maxs];
bool h[maxs];

int deg[maxn];
int fa[maxn];
int temp[maxn];
int cur;

bool e[maxn][maxn];
int w[maxn];
int n,m,k,N;

int G(int x)
{
    return (1<<(x-1));
}

int Mod(int x)
{
    if (x>=M) return x-M;
    else return x;
}

void FMT(int *a)
{
    for (int len=2; len<=N; len<<=1)
    {
        int mid=(len>>1);
        for (int *p=a; p!=a+N; p+=len)
            for (int i=0; iint Up(int x)
{
    if (fa[x]==x) return x;
    return (fa[x]=Up(fa[x]));
}

bool Judge(int s)
{
    cur=0;
    int num=0;
    for (int i=1; i<=n; i++) if ( s&G(i) )
    {
        deg[i]=0;
        fa[i]=i;
        num++;
        temp[++cur]=i;
    }
    for (int i=1; ifor (int j=i+1; j<=cur; j++)
        {
            int x=temp[i];
            int y=temp[j];
            if (!e[x][y]) continue;
            deg[x]++;
            deg[y]++;
            x=Up(x);
            y=Up(y);
            if (x==y) continue;
            fa[x]=y;
            num--;
        }
    bool flag=1;
    for (int i=1; i<=cur; i++)
        if (deg[ temp[i] ]&1) flag=0;
    if ( flag && num==1 ) return 0;
    return 1;
}

int Pow(int x,int y)
{
    if (!y) return 1;
    int temp=Pow(x,y>>1);
    temp=(long long)temp*temp%M;
    if (y&1) temp=(long long)temp*x%M;
    return temp;
}

void UFMT(int *a)
{
    for (int len=2; len<=N; len<<=1)
    {
        int mid=(len>>1);
        for (int *p=a; p!=a+N; p+=len)
            for (int i=0; iint main()
{
    freopen("walk.in","r",stdin);
    freopen("walk.out","w",stdout);

    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for (int i=1; i<=m; i++)
    {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        e[u][v]=e[v][u]=1;
    }
    for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&w[i]);

    N=(1<for (int i=1; i<=n; i++) Num[G(i)]=i;
    for (int i=1; iint j=(i&(-i));
        sum[i]=sum[i^j]+w[ Num[j] ];
        j^=i;
        cnt[i]=cnt[j]+1;
        rev_sum[i]=Pow(sum[i],M-2);
        rev_sum[i]=Pow(rev_sum[i],k);
    };
    for (int i=1; ifor (int i=1; ifor (int i=1; i<=n; i++) FMT(g[i]);

    for (int i=0; i0][i]=1;
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        for (int j=1; j<=i; j++)
            for (int s=0; slong long)F[i][s]+(long long)f[i-j][s]*g[j][s])%M;
        UFMT(F[i]);
        for (int s=0; slong long)F[i][s]*rev_sum[s]%M,f[i][s]=F[i][s];
        FMT(f[i]);
    }
    printf("%d\n",F[n][N-1]);

    return 0;
}