错位相减

如果数列 $1,1+2,1+2+4,\cdots ,1+2+2^2+2^3+\cdots +2^{n-1},\cdots$ 的前 $n$ 项和 $S_n>1020$ 则 $n$ 的最小值为（      \;\; ）
$A.7$
$B.8$
$C.9$
$D.10$

[解析]
因为$$S_n=n\cdot 2^0+(n-1)\cdot 2^1+(n-2)\cdot 2^2+\cdots +1\cdot 2^{n-1}\cdots (1)$$$$2S_n=n\cdot 2^1+(n-1)\cdot 2^2+(n-2)\cdot 2^3+\cdots +1\cdot 2^n\cdots (2)$$(2)-(1)得：$$S_n=-n+2^1+2^2+\cdots +2^{n-1}+2^n=2^{n+1}-n-2$$可知$$S_9=1013,S_{10}=2035$$故答案选 D.

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[法二]
由题意知$$a_n-a_{n-1}=2^{n-1}$$所以$$a_2-a_1=2$$$$a_3-a_2=2^2$$$$a_4-a_3=2^3$$$$\cdots$$$$a_n-a_{n-1}=2^{n-1}$$累加得：$$a_n=1+2+2^2+\cdots +2^{n-1}=2^n-1$$所以$$S_n=2^{n+1}-n-2.$$