放缩法

已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1,a_{n+1}=3a_n+1.$
(1)证明：$\{a_n+\frac{1}{2}\}$是等比数列，并求$\{a_n\}$的通项公式；
(2)证明：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}<\frac{3}{2}.$

[解析]
(1)由题意有$$a_{n+1}+\frac{1}{2}=3(a_n+\frac{1}{2})$$ 所以 $\{a_n+\frac{1}{2}\}$ 是以 $\frac{3}{2}$ 为首项， $3$ 为公比的等比数列；解得 $a_n=\frac{3^n-1}{2}.$

(2)因为当 $n>1$时$$\frac{2}{3^n-1}<\frac{1}{3^{n-1}}$$则
$$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n}$$$$=\frac{2}{3-1}+\frac{2}{3^2-1}+\cdots +\frac{2}{3^n-1}$$$$<1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{3^{n-1}}$$$$=\frac{3}{2}-\frac{1}{2\cdot 3^{n-1}}<\frac{3}{2}$$当 $n=1$ 时，显然成立；得证.