体积最大值

利用一半径为$4cm$的圆形纸片（圆心为$O$）制作一个四棱锥.方法如下：
①以$O$为圆心制作一个小圆；
②在小圆内制作一个内接正方形$ABCD$；
③以正方形$ABCD$的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上（如图）；
④将正方形$ABCD$作为四棱锥的底，四个等腰三角形作为四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合.
问：要使制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为
$A.\frac{4\sqrt{2}}{5}B.\frac{6\sqrt{2}}{5}C.\frac{8\sqrt{2}}{5}D.2\sqrt{2}$

[解析]
如图，连接$OF$，交$CB$于点$M$，设$OM=x$，则$MF=4-x$.则四棱锥的高$h=\sqrt{(4-x{)}^2-x^2}=\sqrt{16-8x}$，则$$V=\frac{1}{3}\cdot 4x^2\cdot \sqrt{16-8x}=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot \sqrt{x^4(8-4x)}\le \frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot \sqrt{(\frac{8}{5}{)}^5}=\frac{512\sqrt{20}}{375}.$$
当且仅当 $x=8-4x$ 时，即 $x=\frac{8}{5}$ 时，等号成立，体积最大.此时小圆半径 $r=\frac{8\sqrt{2}}{5}.$ 故答案为 $C.$