[Luogu P3286] [BZOJ 3598] [SCOI2014]方伯伯的商场之旅

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题目描述

方伯伯有一天去参加一个商场举办的游戏。商场派了一些工作人员排成一行。每个人面前有几堆石子。

说来也巧，位置在 $i$ 的人面前的第 $j$ 堆的石子的数量，刚好是 $i$ 写成 $K$ 进制后的第 $j$ 位。现在方伯伯要玩一个游戏，商场会给方伯两个整数 $L,R$。

方伯伯要把位置在 $[L,R]$ 中的每个人的石子都合并成一堆石子。每次操作，他可以选择一个人面前的两堆石子，将其中的一堆中的某些石子移动到另一堆，代价是移动的石子数量 * 移动的距离。

商场承诺，方伯伯只要完成任务，就给他一些椰子，代价越小，给他的椰子越多。所以方伯伯很着急，想请你告诉他最少的代价是多少。例如：$10$ 进制下的位置在 $12312$ 的人，合并石子的最少代价为：$1\ast 2+2\ast 1+3\ast 0+1\ast 1+2\ast 2=9$即把所有的石子都合并在第三堆

输入输出格式

输入格式：

输入仅有 $1$ 行，包含 $3$ 个用空格分隔的整数 $L,R,K$，表示商场给方伯伯的 $2$ 个整数，以及进制数

输出格式：

输出仅有 $1$ 行，包含 $1$ 个整数，表示最少的代价。

输入输出样例

输入样例#1：

3 8 3

输出样例#1：

5

说明

$1\le L\le R\le 10^{15},2\le K\le 20$

解题分析

wtcl， 这道题都想了好久…

显然还是数位$dp$。 注意到对于一个有$k$位数的$P$， 如果把所有数位的数字数都放在第$m$位， 那么贡献是${\sum }_{i=1}^k|i-m|\times dgt[i]$。

那么我们可以先把所有数放在最后一位， 然后逐位向前移。 从第$i$位移到第$i-1$位的减少贡献就是前$i-1$位的数位和减去后$K-i+1$位的数位和。 如果这个值小于0， 直接$return$就好。

由于$K\le 20$， 所以所有数位和不会太大， 直接设$dp[i][j]$表示前$i$位数位和为$j$ 的贡献之和就好了。

代码如下：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define ll long long
int num[70];
int K;
ll l, r;
ll dp[50][2050];
ll DFS(R int dgt, R int sum, R bool lim)
{
	if (!dgt) return sum;
	if ((!lim) && (~dp[dgt][sum])) return dp[dgt][sum];
	int up = lim ? num[dgt] : K - 1;
	ll ret = 0;
	for (R int i = 0; i <= up; ++i)
	ret += DFS(dgt - 1, sum + (dgt - 1) * i, lim & (i == up));
	if (!lim) dp[dgt][sum] = ret;
	return ret;
}
ll DFS(R int dgt, R int sum, R int pos, R bool lim)
{
	if (sum < 0) return 0;
	if (!dgt) return sum;
	if ((!lim) && (~dp[dgt][sum])) return dp[dgt][sum];
	int up = lim ? num[dgt] : K - 1;
	ll ret = 0;
	for (R int i = 0; i <= up; ++i)
	if (dgt >= pos) ret += DFS(dgt - 1, sum + i, pos, lim & (i == up));
	else ret += DFS(dgt - 1, sum - i, pos, lim & (i == up));
	if (!lim) dp[dgt][sum] = ret;
	return ret;
}
ll solve(R ll val)
{
	int cnt = 0;
	std::memset(dp, -1, sizeof(dp));
	W (val) num[++cnt] = val % K, val /= K;
	ll ret = DFS(cnt, 0, 1);
	for (R int i = 2; i <= cnt; ++i)
	std::memset(dp, -1, sizeof(dp)), ret -= DFS(cnt, 0, i, 1);
	return ret;
}
int main(void)
{
	scanf("%lld%lld%d", &l, &r, &K);
	printf("%lld", solve(r) - solve(l - 1));
}