高等数学（上）（第七版 同济大学） 笔记 ：函数

第一章     函数与极限

第一节  映射与函数

二、函数

（1）函数是特殊的映射，只不过把X集合换成了实数R的子集，把集合Y换成了实数集合R。

（2）分段函数是常见的函数。

（3）函数的特性

      有界性  ：  函数在给定区间内有上界，或有下界，或有界。

                         对于集合 X  D（定义域），如果存在M，使f (x)    M对于所有 x  X成立,  , 则称 f (x) 在  X 上有上界。

                         对于集合 X  D（定义域），如果存在Z， 使f (x)    Z 对于所有 x  X成立,  , 则称 f (x) 在  X 上有下界。

                         对于集合 X  D（定义域），如果存在N， 使    N 对于所有 x  X成立,  , 则称 f (x) 有界。

      单调性 ：   函数在给定区间内单调递增或单调递减。（是大于小于，不是大于等于，小于等于）

                   对于区间X  D（定义域），对于区间上任意两点，当   时，恒有,则称 在区间上单调递增。

                   对于区间X  D（定义域），对于区间上任意两点，当   时，恒有,则称 在区间上单调递增。

      奇偶性：    函数关于原点，关于y轴对称。（偶函数：x相反，y相等；奇函数：x 相反，y也相反)

                          若 定义域D关于原点对称，如果对于任意  x  D，  恒成立，则称 为偶函数。

                                                                          如果对于任意  x  D，  恒成立，则称 为偶函数。

     周期性：    在定义域内满足 

                 定义域为D，如果对于任意 x  D , 且x + l  D ,满足 恒成立，则称 为周期函数。

 

（4）如定义域为 （-l ,  l），则一定可以找偶函数  =  和奇函数  = 

使  =   +   成立。

（5）反函数： 逆映射的特殊形式，同样只有单射反函数 。

                           函数如果单调性且存在反函数，则两个函数的单调性相同。

                           互为反函数的两个函数的图像关于 y = x 对称。

（6）复合函数 ：复合映射的特殊形式，同样，内层函数的值域应该包含在外层函数的定义域内。

（6）初等函数 

      幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。