数论四大定理之威尔逊定理

本文总结了网上关于威尔逊定理的证明，用逻辑更通顺的数学语言表述出来，仅供参考

威尔逊定理

$p$ 为质数$⟺(p-1)!\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

证明：

1. 必要性：
   $(p-1)!\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)⟺p|(p-1)!+1$
   假设 $p$ 不是质数，且 $a$ 是 $p$ 的质因子。
   易知$a|(p-1)!$，则$a\nmid (p-1)!+1$
   而$p|(p-1)!+1⟹a|(p-1)!+1$，前后矛盾！
   故 $p$ 一定为质数。

关于充分性的证明，如果直接看证明的话，容易一脸懵逼。如果带着证明思路看，可能会好得多。证明思路如下：证明集合$\{2,3,\cdots ,p-2\}$中存在两两配对的元素$a,b$，有$ab\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。即$(p-2)!\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，又$p-1\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，所以有$(p-1)!\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

2. 充分性：（证明过程超级难想，真不知道是怎么想出来的(o_o’)，理解相对容易的多）
   当 $p=2$ 时，$(p-1)!\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$显然成立。
   当 $p=3$ 时，$(p-1)!\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$显然成立。
   当$p\ge 5$时，令$$M=\{2,3,\cdots ,p-2\},N=\{1,2,\cdots ,p-1\}$$$\forall a\in M$，令$$S=a\cdot N=\{a,2a,\cdots ,(p-1)a\}$$ 注意$\forall t\in S,p\nmid t$
   $\therefore \forall t_1,t_2\in S,t_1<t_2⟹t_2-t_1\in S⟹p\nmid (t_2-t_1)$
   根据同余的定义可知，$S$中所有元素模$p$都不同余
   $\therefore S\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=N$
   也就是说$\forall a\in M,\exists x\in N$，一定有$ax\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
   若$x=1$，则$ax\%p=a\%p=a,\therefore x≠1$
   若$x=p-1$，则
   $ax\%p=(ap-a)\%p=[(a-1)p+p-a]\%p=p-a,\therefore x≠p-1$
   若$x=a$，则
   $a^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)⟹(a+1)(a-1)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
   $⟹a=1$ 或 $a=p-1\therefore x≠a$
   综上所述，$\forall a\in M,\exists x\in M$，且$a≠x$，有$ax\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
   所以$(p-1)!\equiv 1\cdot (p-1)\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

证毕！