Java动态规划---矩阵链相乘的最小计算代价

参考书籍：算法导论第三版。

采用自底向上的递归模式来求解。

* 动态规划在矩阵链相乘的应用，目的求出最小的计算代价，即矩阵的计算顺序，用加小括号表示。

* 主要的计算思想是递归，而且是带备忘录的递归，辅助作用，存放计算结果。

问题描述：当计算一个矩阵链的时候，计算矩阵的顺序直接影响最后的计算性能。

举一个例子来说明问题：计算矩阵链 A1A2A3A4A5A6标量乘法的总次数？

手动定义矩阵链大小,用一个序列p表示[30 35 15 5 10 20 25]，满足矩阵的乘法尊则。
A1:30X35
A2:35X15
A3:15X5
A4:5X10
A5:10x20
A6:20x25

直接上代码：（范围是int型的），可以更改为long型的。

package com.quan.dynamic_programming;

/**
 * @author quan
 * 动态规划在矩阵链相乘的应用，目的求出最小的计算代价。
 * 主要的计算思想是递归，而且是带备忘录的递归，辅助作用。存放计算结果。
 */
public class MatrixLinkedMultiply {
/*
手动定义矩阵链大小,用一个序列p表示[30 35 15 5 10 20 25]
A1:30X35
A2:35X15
A3:15X5
A4:5X10
A5:10x20
A6:20x25
 */
    public static void main(String[] args){
        int[] p = {30, 35, 15, 5, 10, 20, 25};
        int n = p.length -1;
        //存放计算代价
        int[][] m = new int[n][n];
        //存放分割标号k的值
        int[][] s = new int[n-1][n];
        //链长为1的最小计算代价为0.
        for(int i = 0; i < n; i++){
            m[i][i] = 0;
        }
        //链长从2到n遍历
        for(int L = 2; L <= n; L++){
            //遍历的范围，逐渐缩小范围，从第一个开始。
            for(int i = 0; i < n - L + 1; i++){
                //每次区间加1，遵从自底向上的递归形式求解。
                int j = i + L -1;
                //初始化m[i,j]的值为无限大。
                m[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
                for(int k=i; k <=j-1; k++){
                    //递归求解公式
                    int q = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i]*p[k+1]*p[j+1];
                    if(q < m[i][j]){
                        //保存序列代价的结果
                        m[i][j] = q;
                        //保存分割点k的值
                        s[i][j] = k;
                    }
                }
            }
        }

        //输出计算代价的矩阵m，其最终结果是矩阵m[0][m.length-1]
        System.out.println("该矩阵链的最小计算次数："+m[0][n-1]);
        for(int i=0; i 

运行结果如下：

m矩阵

0          15750          7875          9375          11875          15125          
0          0                  2625          4375          7125            10500          
0          0                  0                750            2500             5375          
0          0                  0                0                1000             3500          
0          0                  0                0                0                   5000          
0          0                  0                0                0                   0         

该矩阵链的最小计算次数：15125

s矩阵:最优解的所有信息，k值为0,1,2,3,4.  i值为0,1,2,3,4,5.分为两段A0..k和Ak+1..5,也是用到了递归求解。
0          0          0          2          2          2          
0          0          1          2          2          2          
0          0          0          2          2          2          
0          0          0          0          3          4          
0          0          0          0          0          4      

((A1(A2A3))((A4A5)A6))