Splay的时间复杂度的一种证明

在这里，我们给出势函数(potential function)的定义，并展示如何通过势函数给出Splay操作的均摊时间复杂度的一个上界，尽管这上界并不是紧的。

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势函数 Φ 定义为数据结构到实数集的一个映射。

在这里，我们假设势函数 Φ 已经良定义，设 T(i) 为第i次操作的实际耗时, Φ(i) 代表第i次操作结束时系统的势函数值。定义 A(i)=T(i)−Φ(i−1)+Φ(i) 。

移项，得 A(i)+Φ(i−1)+Φ(i)=T(i) ，即

• T(1)=A(1)+Φ(1)−Φ(0)
• T(2)=A(2)+Φ(2)−Φ(1)
• ……
• T(n)=A(n)+Φ(n)−Φ(n−1)

求和，得 ∑T(i)=∑A(i)+Φ(n)−Φ(0)

于是，若 Φ 良定义，我们只需给出 ∑A(i)与Φ(n)−Φ(0) 的一个上界，即可给出 ∑T(i) 的一个上界。

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这部分我们显式地给出势函数，定义 S(x) 代表以x为根的子树， μ(V)=log|V| ， μ(x)=log|S(x)| ，定义势函数 Φ=∑vmu(v) 。

显然， Φ(n)−Φ(0)=O(nlogn) ，于是我们只需要给出 ∑A(i) 的一个上界。

以下我们也将 对于点的μ函数记作Φ，这是富有提示性的 。

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考虑Zig操作。

在这里我们仅仅讨论Zig，所有的推论可以等价地推广到Zag上。我们称x节点Zig后的点为X’。

Zig的T(i)显然是1，而

ΔΦ=Φ(x′)+Φ(y′)−Φ(x)−Φ(y)=Φ(y′)−Φ(x)≤Φ(x′)−Φ(x)

于是 A(i)=1+ΔΦ≤1+3[Φ(x′)−Φ(x)]

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接下来我们考虑Zig-Zag与Zig-Zig

对于一次Zig-Zag， ΔΦ=Φ(x′)+Φ(y′)+Φ(z′)−Φ(x)−Φ(y)−Φ(z)

于是 ΔΦ=Φ(y′)+Φ(z′)−Φ(x)−Φ(y)≤Φ(y′)+Φ(z′)−2Φ(x)

我们又有 Φ(z′)+Φ(y′)−2Φ(x′)≤−2 ,这是因为对数函数是凸的。

于是立即推得一次Zig-Zag对应的A有

2+ΔΦ≤2+(−2)−[Φ(z′)+Φ(y′)−2Φ(x′)]+Φ(y′)+Φ(z′)−2Φ(x) 成立。

即一次操作对应的 A(i)≤2Φ(x′)−2Φ(x)<=3Φ(x′)−3Φ(x) 成立。

考虑Zig-Zig

对于一次Zig-Zig， ΔΦ=Φ(x′)+Φ(y′)+Φ(z′)−Φ(x)−Φ(y)−Φ(z) 。

于是 ΔΦ=Φ(y′)+Φ(z′)−Φ(x)−Φ(y)≤Φ(y′)+Φ(z′)−2Φ(x) 依然成立。

类似地,就可推得一次操作对应的 A(i)≤2Φ(x′)−2Φ(x)<=3Φ(x′)−3Φ(x) 成立。

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我们已经论述了三种操作的上界，同时注意到，每次操作结束后的x’恰是下次操作的x，于是不考虑Zig/Zag的情况下，我们可以对Zig-Zag和Zig-Zig的操作分别求和，即 3[Φ(xSonofroot)−Φ(xbegin)] 。

又仅有一次Zig/Zag操作，于是 A(i)≤3[Φ(xroot)−Φ(xbegin)]+1=O(logn)

于是显然，m次操作下的 ∑A(i)=O(mlogn)

那么 ∑T(i)=O(mlogn+nlogn）

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参考文献：

• 均摊分析简介,陈胤伯,2014
• 伸展树的基本操作与应用,杨思雨,2004
• splay和link cut tree的时间复杂度的均摊分析,高宇,2012