范数(Norm)和谱半径(Spectral Radii)

向量(vector)

x=[x1,x2,⋯,xn]T

共轭转置(conjugate transpose)

x∗=[x1¯,x2¯,⋯,xn¯]

向量2范数(vector norm)

||x||2=(∑i=1n|xi|2)1/2

定理 1
If x,y are vector, then

||x||2>0,unlessx=0

if α 是一个标量，then

||αx||2=|α|||x||2

三角不等式(triangular inequality)

||x+y||2≤||x||2+||y||2

谱半径(spectral radius)
A 是一个n阶矩阵，它的特征值为 λi,1≤i≤n , 那么它的谱半径为

ρ(A)=max1≤i≤n|λi|.

几何上看，如果将A的所有特征值画在复平面上，那么A的谱半径就是以原点为中心包含所有的特征值的圆盘的最小半径。
谱范数(spectral norm)
A 是一个n阶矩阵, 它的谱范数定义为：

||A||=supx≠0||Ax||2||x||2

定理2
设A和B都是n阶方阵，下面性质成立
1. ||A||>0, unless A=0, the null matrix.
2. if α 是标量，

||αA||=|α||A||

3. ||A+B||≤||A||+||B||
4. ||AB||≤||A||||B||
5. ||Ax||2≤||A||||x||2 且存在非零y使得

||Ay||2=||A||||y||2

5的证明要利用连续函数在紧集上可以取到最大值的性质。

推论2.1
对任意的方阵A，

||A||≥ρ(A)

Pf. For any eigenvalue of A, named λ , then

|λ|||x||2=||λx||2=||Ax||2≤||A||||x||2

||A||≥λ

then

||A||≥ρ(A)

矩阵的谱范数也可以用谱半径表示。
定理3
A是一个n阶矩阵，那么

||A||=(ρ(A∗A))1/2

Pf.
A∗A Hermitian 的， 所以它的特征值都是非负实数，记为

0≤v1≤⋯≤vn

那么取 ai 是 vi 的特征向量，且 ai 是正交的，
令

x=∑i=1nλiai

||Ax||22||x||22=(Ax)∗(Ax)x∗x=x∗(A∗Ax)x∗x=∑ni=1vi|λi|2∑ni=1|λi|2

所以

v1≤||Ax||22||x||22≤vn

又令 x=an 那么上式右边可以取到等号。
推论3.1
如果A本身是Hermitian的， 那么 ||A||=ρ(A) ,另外设 gm(x) 是任意一个实多项式，那么

||gm(A)||=ρ(gm(A))