如何实现对数ln运算？
好朋友Z说他们期末得设计一个计算器，对数ln的运算挺麻烦的。
我想，这不是就是泰勒展开的事吗？
泰勒展开1.0
立刻想到了这个嘛：
然而，跑一下程序的结果是这样的：
1.1 循环的次数多——Peano余项为o(x^n)，收敛的速度慢；x越接近2，收敛就越慢。
1.2 当x>1时，增量不收敛，然后答案跑不出来了= =
因为设置的跳出循环的条件为：
while(fabs(delta/i)>Epsilon)所以这样展开将进入死循环
面对这1.1和1.2两个缺陷，我不由得觉得自己最开始想得太天真。
泰勒展开2.0
教材上的一道例题——提高ln2的求解精度，同时解释了1.0泰勒展开的缺陷：
（《数学分析（上） 第二版》陈纪修 等著 P208 ）
因为Peano余项的Taylor展开是以x逼近x0为前提的，所以当x远离0的时候，Maclaurin公式的精度将会很低
受此启发，当采用换元法之后：
这样进行Talyor展开：
2.1 因为对数函数的定义域大于0，可知——不管α取定义域内何值，t始终在0~1之间，比泰勒展开1.0更逼近x0=0
2.2 始终是收敛级数
2.3 收敛速度快——Peano余项为o(t^(2n+2))，更容易增长到更高阶
高兴地跑了跑程序：
（图中的“第一种”是泰勒展开2.0，“第二种”是泰勒展开1.0）
上述的几大特点都体现出来了——循环次数少、精度更高、适用范围更广，然而——
2.4 可知当α逼近+∞时，t逼近1，与x0=0距离太远，精度降低（图中对于10000连0.1精度都没达到）
泰勒展开3.0
目前的问题，集中在大数的求对数上了。
最开始想类比换元法，设计一个定义域控制更加严格的t的换元法，无果。
后来觉得——大数应该拆成小数！
举个例子: ln(123456)=ln(1.23456*10^5)=ln(1.23456)+5ln10
对于α小于10，用泰勒展开2.0，当α>10就视为大数，拆为k倍ln10和lnN (0
#define ln10 2.30258509299404568401
然后跑一跑程序：
（“第一种”为泰勒展开3.0，“第二种”为泰勒展开2.0，，“第三种”为泰勒展开1.0）
泰勒展开3.0的优点是：
3.1 大数运算精确
3.2 循环次数少，收敛速度快 （0-20次，图中后两次有误，无碍）
3.3 不远离x0=0，精度高
缺点有：
3.4 对于ln0.1这样的小数运算精度反倒不如泰勒展开1.0
3.5 由于有两个lnN，不能明确确定精度范围
优化思路大抵如上，但剩下的这些缺点如何解决？实际上ln的运算是如何实现的呢？我们可以越挖越深......感谢Z提供了一个如此有思考价值的问题~
附C语言代码如下：
#include "stdafx.h"
#include
#define Epsilon 10e-6
#define ln10 2.30258509299404568401
long double ln(long double c)
{long double s2=0.0,delta;int i=1;
if(c==1) {printf("循环次数为%d\n",i-1);return 0;}
c=(c-1.0)/(c+1.0);//Marclurin公式变换技巧
delta=c;i=0;
do{ s2+=delta/(2*i+1);
delta*=c*c;i++;
}while(fabs((2*delta)/(2*i+1))>Epsilon);
printf("循环次数为%d\n",i-1);
return 2*s2;
}
int main()
{ long double c,s1=0.0,s2=0.0,input,delta,standard;int i=1,j=1,d;
while(1)
{
printf("精度为10e-6\n");
printf("ln");
scanf("%lf",&c);
if(c==1) {printf("%.10lf\n",s2);return 0;}
else { printf("第一种展开方式——————\n");//泰勒展开3.0
input=c;
for(d=0;input>=10;d++)input/=10;
printf("结果为：%.10f\n",d*ln10+ln(input));
printf("第二种展开方式——————\n");//泰勒展开2.0
printf("结果为%.10f\n",ln(c));
if(c>2.0) //泰勒展开1.0
{printf("第三种展开方式——————\n当x>1时增量不收敛，第三种展开方式进入死循环\n");
goto start;
}
input=c-1.0;//方便使用Maclaurin公式
delta=input;i=1;
do{
if(i%2) s1+=delta/i;
else s1-=delta/i;
delta*=input;i++;
}while(fabs(delta/i)>Epsilon); //当x>1时增量不收敛，进入死循环
printf("第三种展开方式——————\n");
printf("循环次数为%d\n",i);
printf("结果为%.10f\n",s1);
start: printf("Windows计算器结果为：");
scanf("%lf",&standard);
putchar('\n');
s1=s2=0.0;i=j=1;
}
}
return 0;
}