3. Catalan Number

3. Catalan Number 

卡特兰数又称卡塔兰数,英文名Catalan number,是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名,其前几项为(从第零项开始) : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

Formula:

卡特兰数Cn满足以下递推关系 [1]  :

C[n + 1] = C[1]C[n] + C[2]C[n-1] + ……+ C[n]C[1]

{\color{Red} C[n] = \textrm{C}_{2n}^{n}/(n + 1){\color{Red} }}

Application: 

1.括号话

        P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n)种)

2.出栈次序

       一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…,n,有多少个不同的出栈序列?

3.凸多边形的三角划分

3. Catalan Number_第1张图片

3. Catalan Number_第2张图片

4.给定节点组成二叉搜索树

        前序遍历是123...n,有多少中序遍历,本质上中序遍历就是出栈进栈的过程

5.n对括号正确匹配数目

        给定n对括号,求括号正确配对的字符串数,例如:

        0对括号:[空序列] 1种可能

        1对括号:() 1种可能

        2对括号:()() (()) 2种可能

        3对括号:((())) ()(()) ()()() (())() (()()) 5种可能

        那么问题来了,n对括号有多少种正确配对的可能呢?

        考虑n对括号时的任意一种配对方案,最后一个右括号有唯一的与之匹配的左括号,于是有唯一的表示A(B),其中A和B也是合法的括号匹配序列

        假设S(n)为n对括号的正确配对数目,那么有递推关系S(n)=S(0)S(n-1)+S(1)S(n-2) +...+S(n-1)S(0),显然S(n)是卡特兰数。

6.从 n * n 方格的左上角移动到右下角不升路径数 

3. Catalan Number_第3张图片

 

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int main(){
    unsigned long long ctl[110],i,j,k,n;
    memset(ctl,0,sizeof(ctl));
    ctl[0]=ctl[1]=1;
    ctl[2]=2;
    scanf("%d",&n);
    for(i=3;i<=n;++i)
        for(j=0;j

 

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