求解区间最值RMQ学习笔记（在线ST算法）

好像是上学期学的算法了，趁着暑假再做最后一遍的复习，并写一篇博客。

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有这样的一类问题，有一数列A，长度为n，有若干个查询q（一般来讲q<=1e5）,每个查询会给出一个区间【x,y】，求解的是这个区间内的最值（最大值或者最小值）。

当然，线段树可以解决此类问题，查询logN的复杂度。

另一种方法便是在线ST（Sparse Table）算法，它可以在O（nlogn）的时间内对数据进行预处理，然后在O（1）回答所有的查询，以此来处理RMQ（Range Minimum/Maximum Query）问题。

所谓在线算法，就是每输入一个查询，就进行一次算法操作，并输出查询结果。离线算法，就是对所有的查询，用一个表结构存储起来，一次算法处理掉所有的查询，最后O（1）的复杂度输出。

在线算法通常需要进行数据的预处理，以便于后面的每个查询可以快速的查询到结果。

首先是预处理，这里需要用到动态规划来解决。

假设数列A为要查询的数列，dp【i】【j】代表从第 i 个数开始连续 （2^j）个数中的最值（最大值/最小值），以下统一为求区间最大值。

举个例子;

现在有数列：4 8 6 2 7 9 5 3 0，dp[1][0]=4,dp[1][1]=8（从第一个数开始，连续2^1个数的最大值，即子序列4 8的最大值）,    dp[1][3]=9（子序列 4 8 6 2 7 9 5 3 的最大值），dp[2][0]=8,dp[2][1]=8......

从上面的例子我们可以看出，其实dp[i][0]=a[i],这样我们的dp数组的初值就可以设置了，即：dp[i][0]=a[i].

下面开始设置状态转移方程，在这里，我们把dp[i][j]这个区间分成两个部分，因为区间内的数的总数是连续个(2^j)个数字，这就代表一定是偶数个，第一部分为 【 i , 2^(j-1)-1】,第二部分为【 i+2^(j-1) , i+2^j -1 】,（因为我们数组设置的是从第 i 个数开始连续 （2^j）个数，所以我们在表示区间时，后面要减一）,这样的话，我们可以看出，两个部分的区间长度都是2^(j-1)，（做差即可得到）

这样我们就得到了状态转移方程

dp【i】【j】=max（dp【i】【j-1】，dp【i+（1<<(j-1)）】【j-1】）

 

预处理代码：

void init()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        dp[i][0]=a[i];
    for(int j=1;(1<

我们继续用上面的数列来说明一下上段话， 比如dp[1][3]，代表的就是区间【1,4】，【5,8】这两个区间中的最大值中的最大值。

同样，我们继续把区间缩小或者扩大，仍然用这样的方法来表示。

于是我们就可以得到查询的方法了，假设我们要查询的区间为【x,y】,我们取delt为区间的长度（y-x+1）

令k=log2(delt).

那么我们要查询的区间【x，y】的最大值即为max（dp【x】【k】，dp【 y - (1<

 

比如我们要求【2,7】区间里的最大值，取按照上面的式子取k=2，则【2,7】就可以按照上面的方法划分为【2，5】，【4，7】两个部分，这两个部分的最大值即为dp[2][2]和dp[4][2]预处理后的值。

 

查询代码：

int query(int x,int y)
{
    double delt=y-x+1;
    int k=log(delt)/log(2.0);
    int ma=max(dp[x][k],dp[y-(1<

 

最后做道题热热身吧！

poj3264