HDU 1576 A/B 解题报告 （求逆元）

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这个题可以是乘法逆元的模板题，基本上只要理解了乘法逆元的求法和扩展欧几里得都能顺利写出来。

然而我一开始看了很多网上题解，都是推导之后再用扩展欧几里得，这个方法还是比较好想明白什么意思的。但是我一直不明白为啥这个题很多人说用求逆元做，冥思苦想之后（对我是才接触数论的小白）终于明白了。

其实我们首先要明白为啥会有求逆元这个东西，取模运算是个比较特殊的运算，比如：

（A * B） %  M  = （A % M  *  B % M） % M  这个式子是成立的，相对应的加法和减法都满足这个式子。但是除法不满足。所以我们在进行（A / B） % M  这种运算的时候，只能寻求其他的方法，这时候逆元就派上用场了。我们可以把前一个式子化成（A * B^-1 ）% M 的形式，这样式子化为了（A % M * B^-1 % M） % M 的形式，这里的B^-1就是指的B关于M的乘法逆元。

那么具体怎么求出B关于M的乘法逆元呢？这时候扩展欧几里得就用上了。接下来先做几个形式变化。

对于 B * B^-1 ≡ 1 （mod M），我们设B^-1 等于x，根据同余式的性质，可以得到： Bx + My = 1  （y的符号换了相当于求的-y）。然后应用扩展欧几里得定理，可以求得使得等式成立的一个特解。然后让 x = （x % M + M） % M，这一步是为了去除x为负值的情况，如果x为负值，就求得最小正值，因为通解是X + k * M啊。

上一波C艹实现

#include 
#include 

using namespace std;
typedef long long LL;
const int MOD = 9973;

LL ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ex_gcd(b, a % b, x, y);
    int temp = x;
    x = y;
    y = temp - (a / b) * y;
}
int main()
{
    //freopen("input.txt", "r", stdin);
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        LL n, b;
        scanf("%I64d %I64d", &n, &b);
        LL x, y;
        ex_gcd(b, MOD, x, y); 
        LL ans = (x * n % MOD + MOD)%MOD;
        printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}