从sicily Fibonacci 问题出发解决矩阵快速幂求解斐波那契问题

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写在前面：

一直不敢打代码，生怕各种WA会暴露我的智商；

但是已经大二了，转眼就要面临升学还是工作的神圣选择；

非常虚，于是开了个博客慢慢回顾一下这些年来学的一些或易或难的算法

最好能写成一部励志史诗吧hhhh。

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题目描述（Description）

In the Fibonacci integer sequence, F0 = 0, F1 = 1, and Fn = Fn-1 + Fn-2 for n ≥ 2. 

For example, the first ten terms of the Fibonacci sequence are:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

  Given an integer n, your goal is to compute the last Fn mod (10^9 + 7).

输入要求（Input）

  The input test file will contain a single line containing n (n ≤ 2^31-1).

There are multiple test cases!

输出要求（Output）

For each test case, print the Fn mod (10^9 + 7).

样例

Sample Input

Copy sample input to clipboard

     9

Sample Output

     34

提示（hint）

  You may need to use "long long".

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题意分析：

对下标为n的斐波那契数列元素进行取模；

在这里有几点注意：

1.递归代码虽然简洁，但是占用空间过多，容易造成内存泄漏；

2.鉴于n的取值实在是大的突破天际，采用简单的递推方法肯定会出现超时；

比较之下，应该采用一种新方法——矩阵快速幂

矩阵快速幂

什么是快速幂？

       快速幂是一种快速求解矩阵高次方的方法，能够将朴素的O(n)的复杂度降到O(log(n))

  

什么是斐波那契数列

斐波那契数列的定义：An = An-1 + An-2, a0 = 0, a1 = 1;

  斐波那契数列进行矩阵变换

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代码实现：

#include 
using namespace std;

#define Maxinum  1000000007

struct Matrix
{
	long long mat[2][2];
};

Matrix mul(Matrix a, Matrix b)
{
	Matrix res;
	for(int i = 0; i < 2; i++)
	{
		for(int j = 0; j < 2; j++)
		{
			res.mat[i][j] = 0;
			for(int k = 0; k < 2; k++)
			{
				res.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j];
				res.mat[i][j] %= Maxinum;
			}
			
		}
	}
	return res;
}

Matrix quickpower(Matrix a, Matrix b, long long n)
{
	while(n)
	{
		if(n & 1) b = mul(b, a);        //按位与操作符，用来判断是不是 
		//if(n % 2 == 1) b = mul(b,a); 
		a = mul(a, a);
		n >>= 1;		//移位，表示其除以二 		
	}
	return b;
}

int main()
{
	Matrix a = {1,1,1,0};
	long long n;
	while(cin >> n)
	{
		Matrix b = {1,0,0,1};
		if(n == 0) 
			cout << 0 << endl;
		else 
		{
			Matrix temp = quickpower(a, b, n - 1);
			cout << temp.mat[0][0] << endl;
		}
	}
	return 0;
}