复变函数与积分变换系列（二） - 复变函数的求导

复变函数的求导

Author : Benjamin142857

[TOC]

1. 复变函数求导

1.1 函数在某点可导（可微）的充要条件

1. $u$ 在该点连续
2. $v$ 在该点连续
3. 满足Cauchy - Reimann方程

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$$f(z)=u+iv\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

1.2 函数在某区域内可导（可微）的充要条件

在该区域内的点均可导（可微）

1.3 题 - 证 $f(z)$ 可导性

• $f(z)=u+iv$ 形式

  $u、v$ 的连续性 ： 若为初等函数（基本初等函数及其四则运算组合），在定义域内处处连续

  满足CR方程 ： 算出满足满足CR方程时的 $x,y$ 关系，若CR方程恒成立，则复平面上处处可导

• $f(z)=z^2+2z+1$ 等直接带 $z$ 形式

  若为初等解析函数（基本初等解析函数及其四则运算组合），在定义域内处处连续

1.4 题 - 对$f(z)$ 求导问题【#】

• $f(z)=u+iv$ 形式

  待补

• $f(z)=z^2+2z+1$ 等直接带 $z$ 形式

  直接求导，如同实函数 $f(x)$

2. 解析函数

2.1 函数在某点解析的充要条件

• 函数在该点可导
• 函数在该点的某领域内可导

2.2 函数在某区域解析的充要条件

• 函数在该区域可导

2.3 奇点与孤立奇点

• 奇点：不解析的点
• 孤立奇点：领域内唯一奇点

3. 初等解析函数【#】

五个基本初等解析函数 ： 幂指对三角（反）

• 复指数函数
• 复对数函数
• 复幂函数
• 复三角函数&双曲函数
• 复反三角函数