复变函数与积分变换系列(四) - Fourier积分

Fourier积分

Author : Benjamin142857

Date : 2018/10/2

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Fourier 积分定理

f ( t ) f(t) f(t) ( − ∞ , ∞ ) (-\infty, \infty) (,) 上满足下列条件:

  1. 在任意有限区间上满足Dirichlet条件(一) :连续或只有有限个第一类间断点;
  2. 在任意有限区间上满足Dirichlet条件(二) :只有有限个极值点
  3. f ( t ) f(t) f(t) ( − ∞ , ∞ ) (-\infty, \infty) (,) 上绝对可积(即 ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ d t \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt f(t)dt 收敛)

则有:
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ [ ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) e − j ω τ d τ ] e j ω t d ω f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau\right]e^{j\omega t}d\omega f(t)=2π1[f(τ)ejωτdτ]ejωtdω

f ( t ) = { f ( t 0 )                      ( t 0 不 为 间 断 点 ) f ( t 0 − 0 ) + f ( t 0 + 0 ) 2        ( t 0 为 间 断 点 ) f(t) = \begin{cases}f(t_0)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (t_0不为间断点) \\ \frac{f(t_0-0)+f(t_0+0)}{2}\ \ \ \ \ \ (t_0为间断点)\end{cases} f(t)={f(t0)                    (t0)2f(t00)+f(t0+0)      (t0)

[*积分定理一般是用 f ( t 0 ) f(t_0) f(t0) 的值算右边那坨积分]

Fourier 积分表达式

1. 复数形式

f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ [ ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) e − j ω τ d τ ] e j ω t d ω f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau\right]e^{j\omega t}d\omega f(t)=2π1[f(τ)ejωτdτ]ejωtdω

2. 三角形式

f ( t ) = 1 π ∫ 0 ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) cos ⁡ [ ω ( t − τ ) ] d τ d ω f(t) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\cos\left[\omega (t-\tau)\right]d\tau d\omega f(t)=π10f(τ)cos[ω(tτ)]dτdω

3. 奇函数 - 三角正弦形式

f ( t ) = 2 π ∫ 0 ∞ [ ∫ 0 ∞ f ( τ ) sin ⁡ ( ω τ ) d τ ] sin ⁡ ( ω t ) d ω f(t) = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\left[\int_{0}^{\infty}f(\tau)\sin{(\omega \tau)} d\tau\right]\sin{(\omega t)}d\omega f(t)=π20[0f(τ)sin(ωτ)dτ]sin(ωt)dω

4. 偶函数 - 三角余弦形式

f ( t ) = 2 π ∫ 0 ∞ [ ∫ 0 ∞ f ( τ ) cos ⁡ ( ω τ ) d τ ] cos ⁡ ( ω t ) d ω f(t) = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\left[\int_{0}^{\infty}f(\tau)\cos{(\omega \tau)} d\tau\right]\cos{(\omega t)}d\omega f(t)=π20[0f(τ)cos(ωτ)dτ]cos(ωt)dω

一些重要的特殊积分

1. Dirichlet积分

∫ 0 ∞ sin ⁡ x x d x = π 2 \int_{0}^{\infty} \frac{\sin{x}}{x}dx = \frac{\pi}{2} 0xsinxdx=2π

2. 概率积分

∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi} ex2dx=π

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