复变函数与积分变换系列（四） - Fourier积分

Fourier积分

Author : Benjamin142857

Date : 2018/10/2

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Fourier 积分定理

若 $f(t)$ 在 $(-\infty ,\infty )$ 上满足下列条件：

1. 在任意有限区间上满足Dirichlet条件(一) ：连续或只有有限个第一类间断点；
2. 在任意有限区间上满足Dirichlet条件(二) ：只有有限个极值点
3. $f(t)$ 在 $(-\infty ,\infty )$ 上绝对可积（即 ${\int }_{-\infty }^{\infty }|f(t)|dt$ 收敛）

则有：
$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau \right]e^{j\omega t}d\omega$$

$$f(t)=\{\begin{array}{l}f(t_0)(t_0不为间断点)\\ \frac{f(t_0-0)+f(t_0+0)}{2}(t_0为间断点)\end{array}$$

[*积分定理一般是用 $f(t_0)$ 的值算右边那坨积分]

Fourier 积分表达式

1. 复数形式

$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau \right]e^{j\omega t}d\omega$$

2. 三角形式

$$f(t)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cos \left[\omega (t-\tau )\right]d\tau d\omega$$

3. 奇函数 - 三角正弦形式

$$f(t)=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\infty }\left[{\int }_0^{\infty }f(\tau )\sin (\omega \tau )d\tau \right]\sin (\omega t)d\omega$$

4. 偶函数 - 三角余弦形式

$$f(t)=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\infty }\left[{\int }_0^{\infty }f(\tau )\cos (\omega \tau )d\tau \right]\cos (\omega t)d\omega$$

一些重要的特殊积分

1. Dirichlet积分

$${\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}$$

2. 概率积分

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$$