【科普】量子计算通识-7-Deutsch算法解析

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这一篇我们来看一下多伊奇算法是怎么推导出来的。

多伊奇问题

我们用表示是由0或1组成的任意位二进制数，比如位的011、位的1010011。

我们又知道对于单比特的四种操作可以分为两类：

• 常量操作constant：等0，等1；
• 平衡操作balanced：不变，翻转。

更多参考这里：【科普】量子计算通识-2-四种操作与乘积态

综合上面两个情况，我们就可以描述为，，对于0和1组成的任意位长度二进制数的两种操作：

• Constant：
  
• Balanced：
  

多伊奇的问题就是，如果有一个符合以上条件的未知函数，那么如何尝试最少且足够的次数，来确定它是Constant操作还是Balanced操作。

经典计算机解法

位2进制最多表示个数字，比如2位的00、01、10、11共有种，可以表示十进制的0 ~ 3；同样3位的000、001、010、011、100、101、110、111共可以表示0 ~ 7，即种；同样8位可以表示。

所以，对于经典计算机来说，需要尝试次（也就是一半多一次），才能确保足够可以判断未知函数属于哪一种，因为前提已经承诺，如果是Balanced类型，那么一半多一次恰好刚刚超过50%，如果这么多情况的结果都是相同的，那么它就是Constant类型操作（因为Constant类型操作所有结果都一样），否则就是Balanced类型操作。

这就好比一共8张卡片，要么都一样颜色，要么黑白各一半。这时我们只要最多翻开5张，就能知道属于那种情况了。

量子计算解法

如前面文章所述，在量子计算机中，只需要一次尝试就可以做出准确判断。当然我们要进行一些特殊处理。

图中的符号读作|p’sai|

首先我们需要设计一个电路，它包含我们需要进行判断的函数，可以说是我们在的基础上又增加了一些处理使其成为函数。

的作用就是可以传入一些量子比特，然后输出另外一些比特量子比特，并且可以让我们从输出的量子比特中一眼就可以看出其中是Constant操作还是Balanced操作。

听上去这个电路一定很难设计，实际却是不难，它只要满足能够把映射成为即可：

这里的圆圈加号的意思是异或，即：

异或即相同得0，相异得1。这里有些有趣的规律：

• 异或看起来和CNOT门很像，第一位是0的结果和第二位相同，第一位是1的结果和第二位相反。
• 两位顺序颠倒也能成立，第二位是0的时候，结果和第一位相同，第二位是1的时候，结果和第一位相反。

关于CNOT门，参照【科普】量子计算通识-3-CNOT可控非门

总之我们先记住操作就是把输入的两个量子位变成输出的另外两个量子位，输出中的后一位是第二个输入位和函数输入第一位的异或结果：

实际上我们只要根据输出的就可以判断出属于Constant还是Balanced操作，下面我们进行推理演算即2个比特位的情况。

计算Hadamard之后的

如图，我们输入两个量子比特，一个0一个1，所以

下面来计算两个比特分别经过Hadamard门之后的。

关于哈达玛门，相当于乘以一个特殊矩阵，即，即变为，即变为，更多请参照【科普】量子计算通识-5-哈达玛门与单位圆状态机

计算U之后的

针对函数，由于我们有：

所以经过把替换为之后的就变为：

我们注意到按照约定，只能取0或1，那么

当时，，并且有：

当时，，并且有：

结合这两种情况，一定有：

同样的道理，也可以等于0或1，所以也会有：

把这两个式子带入得到：

计算U之后的

对乘以Hadamard矩阵，即变为，即变为，这就得到。注意如图所示，是整体进行操作而不是每一位分别Hadamard操作：

测量结果

式子有点长，但我们只关注前面括号内的部分，也就是要被测量的部分：

注意和对应系数的两个分母实际是A+B和A-B的格式，那么假设是Constant即那么这个结果就是：

如果，那么结果也类似的：

对于测量操作求平方计算结果来说，和结果都是0。

关于测量请参照这里【科普】量子计算通识-4-量子位

但是，如果是个Balanced操作，即结果会怎样？

如果，，那么：

如果，，那么：

综上，如果我们最后测量的结果是0，那么一定是Constant操作，如果我们最后测量的结果是1，那么一定是Balanced操作。

这里只针对，也就是两个量子位的计算，后面我们来推导多个量子位的情况。

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