PAT (Basic Level) Practice 1049 数列的片段和 （20 分）

给定一个正数数列，我们可以从中截取任意的连续的几个数，称为片段。例如，给定数列 { 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 }，我们有 (0.1) (0.1, 0.2) (0.1, 0.2, 0.3) (0.1, 0.2, 0.3, 0.4) (0.2) (0.2, 0.3) (0.2, 0.3, 0.4) (0.3) (0.3, 0.4) (0.4) 这 10 个片段。

给定正整数数列，求出全部片段包含的所有的数之和。如本例中 10 个片段总和是 0.1 + 0.3 + 0.6 + 1.0 + 0.2 + 0.5 + 0.9 + 0.3 + 0.7 + 0.4 = 5.0。

输入格式：

输入第一行给出一个不超过 10​5​​ 的正整数 N，表示数列中数的个数，第二行给出 N 个不超过 1.0 的正数，是数列中的数，其间以空格分隔。

输出格式：

在一行中输出该序列所有片段包含的数之和，精确到小数点后 2 位。

输入样例：

4
0.1 0.2 0.3 0.4

输出样例：

5.00

思路： 

 首先想到的是暴利求解，用两层循环，第一层是开始的位置，第二层是求每个数列的值，并加到总和sum中。但是这么做有两个测试点没过，运行超时。

后来参考大佬的思路（参考代码：https://www.cnblogs.com/andywenzhi/p/5837751.html），找规律，寻找每个数出现的次数。

以 数列{1.0, 2.0, 3.0, 4.0} 为例，它拥有以下片段（每行一个）：

1.0
1.0	2.0
1.0	2.0	3.0
1.0	2.0	3.0	4.0
2.0
2.0	3.0
2.0	3.0	4.0
3.0
3.0	4.0
4.0

可以发现：
1.0 出现了 4 * 1 次，即 n 次。4 代表一列有 4 个 1.0，1 代表共有一列。
2.0 出现了 3 * 2 次，即 (n-1) * 2 次。3 代表一列有 3 个 2.0，2 代表共有二列。
3.0 出现了 2 * 3 次，即 (n-2) * 3 次。2 代表一列有 2 个 3.0，3 代表共有三列。
4.0 出现了 1 * 4 次，即 (n-3) * 4 次。1 代表一列有 1 个 4.0，4 代表共有四列。

于是总和就等于 ∑N−1i=0a[i]∗(N−i)∗(i+1)∑i=0N−1a[i]∗(N−i)∗(i+1)。

值得注意的是：

sum += a[i] * (N - i) * (i + 1);

与

sum += (N - i) * (i + 1) * a[i];

这两种写法有所差距。第一种写法，三次运算每次都是 double 型，第二种写法，第一次运算结果是 int 型，有可能出现溢出。当 i = N/2 时，(N - i) * (i + 1) 的值最大，超过了 int 型所能表示的范围。你可以对第二种写法进行强制类型转换（转换成 long long int 或者 double 都可，推荐 long long int，这样至少在精度上少了一次损失），或者写成第一种那样，利用 C 语言的自动类型转换。

这解释简直是太太太好了！

代码实现：

#include 
using namespace std;

int main() {
    int n;
    double a[100010],sum = 0,sum1;
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 0;i < n;i++){
        scanf("%lf",&a[i]);
        sum += a[i] * (n-i) * (i+1);
    }
    //暴力求解，运行超时，有两个测试点没过
    /*for(int i = 0;i < n;i++){
        sum1 = a[i];
        sum += a[i];
        for(int j = i+1;j < n;j++){
            sum1 += a[j];
            sum += sum1;
        }
    }*/
    printf("%.2lf\n",sum);
    return 0;
}