Python数据结构与算法（九、二分搜索树）
保证一周更两篇吧，以此来督促自己好好的学习！代码的很多地方我都给予了详细的解释，帮助理解。好了，干就完了～加油！
声明：本python数据结构与算法是imooc上liuyubobobo老师java数据结构的python改写，并添加了一些自己的理解和新的东西，liuyubobobo老师真的是一位很棒的老师！超级喜欢他～
如有错误，还请小伙伴们不吝指出，一起学习～
No fears, No distractions.
一、基本知识点
1. 二叉树
对于每个节点来说，它最多只有两个分支。
和链表一样，是一种动态数据结构。
# 为了更清楚的表示节点结构，这里用C++语法来阐述
class Node{
E e; # 节点携带的元素
Node* left; # 左孩子
Node* right; # 右孩子
}
所以这么看来就可以把链表看成是只有一个孩子的一叉树- -
特点：二叉树具有唯一根节点
- 每个节点都有指向做孩子和右节点的指针，只不过有可能指向空（叶子节点）
- 二叉树每个节点最多有两个孩子（注意是最多，可以只有一个孩子，而另一个为None哦）
- 二叉树每个节点最多有一个父亲（根节点没有父亲节点！）
- 具有天然的递归结构
每个节点的左子树也是二叉树（以其左孩子为根的二叉树）
每个节点的右子树也是二叉树（以其右孩子为根的二叉树） - 二叉树不一定是“满”的（有的节点可能只有左孩子，没有右孩子，或者只有右孩子，没有左孩子），当然一个节点也可以看做成是二叉树（None也可以看成二叉树！，是否是树取决与你的主观判断），相应的代码也会发生一定的更改，因为判断条件不一样了嘛。
2. 典型的树结构对象
- 树结构是一种天然的组织结构，比如文件系统。
- 有时将数据使用树结构存储后，出奇的高效。
- 树结构的典型对象：
二分搜索树
平衡二叉树：AVL；红黑树
堆；并查集
线段树；Trie（字典树，前缀树）
3. 二分搜索树
- 是二叉树的一种
- 对于二分搜索树的每个节点的值（这里讨论的是无重复元素的二分搜索树）：
大于其左子树的所有节点的值
小于其右子树所有节点的值 - 每一棵子树也是一棵二分搜索树
- 二分搜索树不一定是“满”树（满树的定义前面有讲）
- 存储的元素必须有可比较性
- 我们实现的二分搜索树不包含重复元素
如果想包含重复元素的话，只需要定义：
左子树小于等于节点，或者右子树大于等于节点
注意：我们之前实现的数组和链表，可以有重复元素
二分搜索树添加元素的非递归写法，和链表很像
二、二分搜索树的实现
# -*- coding: utf-8 -*-
# Author: Annihilation7
# Data: 2018-10-12
# Python version: 3.6
from Stack.arrayStack import ArrayStack # 我们实现的栈
from queue.loopqueue import LoopQueue # 我们实现的循环队列
class Node:
def __init__(self, elem):
"""
节点构造函数，三个成员：携带的元素，指向左孩子的指针（标签），指向右孩子的指针（标签）
:param elem: 携带的元素
"""
self.elem = elem
self.left = None # 左孩子设为空
self.right = None # 右孩子设为空
class BST:
def __init__(self):
"""
二分搜索树的构造函数——————空树
"""
self._root = None # 根节点设为None
self._size = 0 # 有效元素个数初始化为0
def __repr__(self):
return '二分搜索树'
def getSize(self):
"""
返回节点个数
:return: 节点个数
"""
return self._size
def isEmpty(self):
"""
判断二分搜索树是否为空
:return: bool值，空为True
"""
return self._size == 0
def add(self, elem):
"""
向二分搜索树插入元素elem
时间复杂度：O(logn)
:param elem: 待插入的元素
:return: 二分搜索树的根
"""
self._root = self._add(self._root, elem) # 调用私有函数self._add
def contains(self, elem):
"""
查看二分搜索树中是否包含elem
时间复杂度：O(logn)
:param elem: 待查询元素
:return: bool值，查到为True
"""
return self._contains(self._root, elem) # 调用私有函数self._contains
def preOrfer(self):
"""
二分搜索树的前序遍历
时间复杂度：O(n)
前序遍历、中序遍历以及后续遍历是针对当前的根节点来说的。前序就是把对根节点的操作放在遍历左、右子树的前面，相应的中序遍历以及后序遍历以此类推
前序遍历是最自然也是最常用的二叉搜索树的遍历方式
"""
self._preOrder(self._root) # 调用self._preOrder函数
def inOrder(self):
"""
二分搜索树的中序遍历
时间复杂度：O(n)
特点：输出的元素是从小到大排列的，因为先处理左子树，到底后再处理当前节点，最后再处理右子树，而左子树的值都比当前节点小，
右子树的值都比当前节点大，所以是排序输出
"""
self._inOrder(self._root) # 调用self._inOrder函数
def postOrder(self):
"""
二分搜索树的后序遍历
应用场景：二叉搜索树的内存回收，例如C++中的析构函数
时间复杂度：O(n)
"""
self._postOrder(self._root) # 调用self._postOrder函数
def preOrderNR(self):
"""
前序遍历的非递归写法
此时需要借助一个辅助的数据结构————栈
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)
技巧：压栈的时候先右孩子，再左孩子，从而左孩子先出栈。
"""
self._preOrderNR(self._root) # 调用self._preOrderNE函数
def levelOrder(self):
"""
层序遍历（广度优先遍历）
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)
"""
self._levelOrder(self._root) # 调用self._levelOrder函数
def minimum(self):
"""
Description: 返回当前二叉搜索树的最小值
时间复杂度：O(n)
"""
if self.getSize() == 0: # 空树直接报错
raise Exception('Empty binary search tree!')
return self._minimum(self._root).elem # 调用self._minimum函数，它传入当前的根节点
def maximum(self):
"""
Description: 返回当前二叉搜索树的最大值
时间复杂度：O(logn)
"""
if self.getSize() == 0: # 空树直接报错
raise Exception('Empty binary search tree!')
return self._maximum(self._root).elem # 调用self._maxmum函数，它传入当前的根节点
def removeMin(self):
"""
Description: 删除当前二叉搜索树的最小值的节点
时间复杂度：O(logn)
Returns: 被删除节点所携带的元素的值
"""
ret = self.minimum() # 找到当前二叉搜索树的最小值
self._root = self._removeMin(self._root) # 调用self._removeMin函数，该函数返回删除节点后的二叉搜索树的根节点
return ret # 返回最小值
def removeMax(self):
"""
Description: 删除当前二叉搜索树的最大值的节点
时间复杂度：O(logn)
Returns: 被删除节点所携带的元素的值
"""
ret = self.maximum() # 找到当前二叉搜索树的最大值
self._root = self._removeMax(self._root) # 调用self._removeMax函数，该函数返回删除节点后的二叉搜索树的根节点
return ret # 返回最大值
def remove(self, elem):
"""
Description: 删除二叉搜索树中值为elem的节点，注意我们的二叉搜索树中的元素的值是不重复的，所以删除就是真正的删除，无残余
这个算法是二叉搜索树中最难的一个算法
note: 因为删除的是指定的值，用户已经直到该值了，所以就不需要返回这个值了。
时间复杂度：O(logn)
"""
self._root = self._remove(self._root, elem) # 调用self._remove函数，该函数返回删除节点后二叉搜索树的根节点
def floor(self, elem):
"""
Description: 找到elem在树中的floor值，关于floor与ceil的定义请自行百度。
elem的floor值肯定是携带elem元素节点的左子树的最大值！想一想二分搜索树的性质！
其实就是elem的前驱嘛
时间复杂度：O(logn)
Return:
二分搜索树中elem元素的floor值
"""
node = self._floor(self._root, elem) # 调用self._floor函数
if node is not None: # 如果确实存在该元素的floor，就返回这个值
return node.elem
else: # 如果不存在该元素的floor，比如node是叶子节点，根本没有孩子，就返回None就好了
return None
def ceil(self, elem):
"""
Description: 找到elem在树中的ceil值，关于floor与ceil的定义请自行百度。
elem的ceil值肯定是携带elem元素节点的右子树的最小值！想一想二分搜索树的性质！
其实就是elem的后继嘛
相应的操作和floor类似，所以注释就少一些咯
时间复杂度：O(logn)
Return:
二分搜索树中elem元素的ceil值
"""
node = self._ceil(self._root, elem) # 调用self._ceil函数
if node is not None:
return node.elem
else:
return None
# private
def _add(self, node, elem):
"""
向以Node为根的二分搜索树插入元素elem，递归算法，这个根可以是任意节点哦，因为二分搜索树的每一个节点都是一个新的二分搜索树的根节点
:param Node: 根节点
:param elem: 带插入元素
:return: 插入新节点后二分搜索树的根
"""
if node is None: # 递归到底的情况，此时已经到了None的位置。注意Node也算一棵二分搜索树
self._size += 1 # 维护self._size
return Node(elem) # 新建一个携带elem的节点Node，并将它返回
if elem < node.elem: # 待添加元素小于当前节点的elem值
node.left = self._add(node.left, elem) # 继续递归向node的左子树添加elem，设想此时node.left已经为空，根据上面的语句，
# 将返回一个新节点，而此时这个节点与二叉搜索树没有任何联系，所以要用node.left接住这个新节点，从而让新节点挂接到二叉搜索树上
elif node.elem < elem: # 当前节点的elem值小于待添加元素，原理同上
node.right = self._add(node.right, elem)
# 注意我们实现的是一个不带重复元素的二分搜索树，所以要用elif，而不是else，相当于对于插入了一个重复元素，我们什么也不做
return node # 最后要把node返回，还是这个根，满足定义。
def _contains(self, node, elem):
"""
在以node为根的二叉搜索树中查询是否包含元素elem
:param node: 根节点
:param elem: 带查找元素
:return: bool值，存在为True
"""
if node is None: # 递归到底的情况，已经到None了，还没有找到，返回False
return False
if node.elem < elem: # 节点元素小于带查找元素，就向右子树的根节点递归查找
return self._contains(node.right, elem)
elif elem < node.elem: # 带查找元素小于节点元素，就向左子树的根节点递归查找
return self._contains(node.left, elem)
else: # 最后一种情况就是相等了，此时返回True
return True
def _preOrder(self, node):
"""
对以node为根的节点的二叉搜索树的前序遍历
:param node: 当前根节点
"""
if node is None: # 同样的，先写好递归到底的情况
return
print(node.elem, end=' ') # 在这里我只是对当前节点进行了打印操作，并没有什么别的操作
self._preOrder(node.left) # 前序遍历以node.left为根节点的二叉搜索树
self._preOrder(node.right) # 最后才是右子树
def _inOrder(self, node):
"""
对以node为根节点的二叉搜索树的中序遍历
:param node: 当前根节点
"""
if node is None: # 递归到底的情况
return
self._inOrder(node.left) # 先左子树
print(node.elem, end=' ') # 再当前节点的操作，这里只是打印
self._inOrder(node.right) # 最后右子树
def _postOrder(self, node):
"""
对以node为根节点的二叉搜索树的后序遍历
:param node: 当前根节点
"""
if node is None: # 递归到底的情况
return
self._postOrder(node.left) # 先左子树
self._postOrder(node.right) # 再右子树
print(node.elem, end=' ') # 最后进行当前节点的操作
def _preOrderNR(self, node):
"""
对以node为根节点的二叉搜索树的非递归的前序遍历
:param node: 当前根节点
"""
stack = ArrayStack() # 初始化一个我们以前实现的栈
if node:
stack.push(node) # 如果根节点不为空，就首先入栈
else:
return
while not stack.isEmpty(): # 栈始终不为空
ret = stack.pop() # 出栈并拿到栈顶的节点
print(ret.elem, end=' ') # 打印（我这里就只选择打印操作了，当然可以对这个节点执行任何你想要的操作）
if ret.right: # 出栈后，看一下ret的左右孩子，先入右孩子
stack.push(ret.right)
if ret.left: # 再入栈左孩子，想想为什么是先右后左
stack.push(ret.left)
def _levelOrder(self, node):
"""
Description: 对以node为根节点的二叉搜索树的广度优先遍历
Params:
- node: 当前根节点
"""
if node is None: # node本身就是None
return
queue = LoopQueue() # 建立一个我们以前实现的循环队列，作为辅助数据结构
queue.enqueue(node) # 当前根节点入队
while not queue.isEmpty(): # 如果队列不为空
tmp_node = queue.dequeue() # 取出队首的元素
print(tmp_node.elem, end=' ') # 这里仅仅是打印，无其他操作
if tmp_node.left: # 如果左孩子不是None
queue.enqueue(tmp_node.left) # 将它的左孩子入队，注意是先左孩子后右孩子哦，想象为什么是这样
if tmp_node.right: # 如果右孩子不是None
queue.enqueue(tmp_node.right) # 右孩子入队
def _minimum(self, node):
"""
Description: 返回以node为根的二叉搜索树携带最小值的节点
"""
if node.left is None: # 递归到底的情况，二叉搜索树的最小值就从当前节点一直向左孩子查找就好了
return node
return self._minimum(node.left) # 否则向该节点的左子树继续查找
def _maximum(self, node):
"""
Description: 返回以node为根的二叉搜索树携带最大值的节点
"""
if node.right is None: # 递归到底的情况，二叉搜索树的最大值就从当前节点一直向右孩子查找就好了
return node
return self._maximum(node.right) # 否则向该节点的右子树继续查找
def _removeMin(self, node):
"""
Descriptoon: 删除以node为根节点的二叉搜索树携带最小值的节点
Returns: 删除后的二叉搜索树的根节点，与添加操作有异曲同工之处
"""
if node.left is None: # 递归到底的情况
right_node = node.right # 记录当前节点的右节点，即使是None也没关系
node.right = None # 将当前节点的右节点置为None，便于垃圾回收
self._size -= 1 # 维护self._size
return right_node # 返回当前节点的右子树的根，因为删除最小节点有两种情况，一种是node是叶子节点，直接用None来代替就好了。另外一种就是node还有右子树
# 此时需要用node的右节点来代替当前的节点
node.left = self._removeMin(node.left) # 没到底就继续向左子树前进，注意要用node.left接住被删除节点的右节点，从而与整棵树产生连接。
return node # 将节点返回，从而在递归算法完成后的回归过程中逐层返回直到最后到根节点
def _removeMax(self, node):
"""
Description: 删除以node为根节点的二叉搜索树携带最大值的节点
Returns: 删除后的二叉搜索树的根节点，与添加操作有异曲同工之处
"""
if node.right is None: # 与self.removeMin原理差不多，不再赘述
left_node = node.left
node.left = None
self._size -= 1
return left_node
node.right = self._removeMax(node.right)
return node
def _remove(self, node, elem):
"""
Description: 删除以node为根节点的二叉搜索树中携带值为elem的节点
Returns: 删除节点后的二叉搜索树的根节点
"""
if node is None: # 没找到携带elem的节点
return None
if elem < node.elem: # 要寻找的元素小于当前节点的elem值
node.left = self._remove(node.left, elem) # 向node的左子树继续寻找，注意要用node.left接住返回值，从而让代替被删除节点的节点与搜索树产生连接
return node # 返回node，从而在递归完事后的回归过程中最终返回到搜索树的根节点
elif node.elem < elem: # 同理
node.right = self._remove(node.right, elem)
return node
else: # 此时 elem == node.elem
if node.left is None: # node左子树为空的情况，单独处理，与前面的删除最大/最小节点的方法一致，不再赘述
ret = node.right
node.right = None
self._size -= 1
return ret
elif node.right is None: # node右子树为空的情况
ret = node.left
node.left = None
self._size -= 1
return ret
else: # 此时node左右子树均不为空，此时是该算法重头戏
# 既然node的左右子树均不为空，那么删除node后究竟要用谁来接替这个删除后的空位呢，答案是node的前驱或者后继节点！前驱节点就是node左子树携带最大值的节点
# 这个节点满足：它的elem一定小于node右子树全部元素的elem，但是还大于左子树全部元素的elem（除了他自己--），同理后继是node右子树的最小值，代替
# node后也满足二叉搜索树的要求，本文通过node的后继来实现，小伙伴们可以用前驱来实现，也非常简单。
successor = self._minimum(node.right) # 通过self._minimum方法找到node的后继节点，并记为seccessor
successor.right = self._removeMin(node.right) # 通过self._removeMin方法将node的右子树的最小节点删除，注意返回的删除节点的新的右子树的根节点，所以
# 此时直接将返回值作为successor的右节点就可以了
self._size += 1 # 但是我们的目的是让后继来取代被删除的位置的节点，并不是要删除它，而self._removeMin方法中已经对self._size进行了维护，所以在这里我们要加回来
successor.left = node.left # successor的左孩子就是node的左孩子就好了，代替嘛，画个图看看就懂啦
node.left = node.right = None # 可以把node扔了，他已经没用了，让node从树中脱离
self._size -= 1 # 把二叉搜索树上的节点都扔了，肯定要维护一下self._size
return successor # 返回取代node后的后继节点
def _floor(self, node, elem):
"""
Description: 获取以node为根的二分搜索树携带elem节点的floor值的节点
Params:
- elem: 带查找元素
Returns:
携带elem的floor值的节点
"""
if node is None: # 到头了还没找到elem，报错就完事了
raise Exception('Error, the %s is not in BST!, please check again.' % elem)
if elem < node.elem: # 先要找到携带elem元素的节点，所以此时往左子树深入
return self._floor(node.left, elem)
elif node.elem < elem: # 此时往右子树深入
return self._floor(node.right, elem)
else: # 此时node.elem == elem了，有两种情况呢
if node.left is None: # 第一种这个node并没有左子树，没有左孩子，所以返回None就好了
return None # 此时node还有左子树，那就找到node左子树携带最大值的节点
return self._maximum(node.left) # 调用self._maximum函数找到node左子树中携带最大值的节点
def _ceil(self, node, elem):
"""
Description: 获取以node为根的二分搜索树携带elem节点的ceil值的节点
Params:
- elem: 带查找元素
Returns:
携带elem的ceil值的节点
"""
if node is None:
raise Exception('Error, the %s is not in BST!, please check again.' % elem)
if elem < node.elem:
return self._ceil(node.left, elem)
elif node.elem < elem:
return self._ceil(node.right, elem)
else: # node.elem == elem
if node.right is None: # 此时node没有右子树，也就没有什么所谓的ceil
return None # 返回None
else: # 此时是有右子树的
return self._minimum(node.right) # 调用self._minimum函数找到node右子树中携带最小值的节点
三、测试
# -*- coding: utf-8 -*-
from bst import BST
test_bst = BST()
print('初始大小：', test_bst.getSize())
print('是否为空：', test_bst.isEmpty())
add_list = [15, 4, 25, 22, 3, 19, 23, 7, 28, 24]
print('待添加元素：', add_list)
for add_elem in add_list:
test_bst.add(add_elem)
##################################################
# 15 #
# / \ #
# 4 25 #
# / \ / \ #
# 3 7 22 28 #
# / \ #
# 19 23 #
# \ #
# 24 #
##################################################
print('添加元素后，树的大小：', test_bst.getSize())
print('是否包含28？', test_bst.contains(28))
print('前序遍历：（递归版本）')
test_bst.preOrfer()
print() # 为了美观，起换行作用
print('前序遍历：（非递归版本)')
test_bst.preOrderNR()
print()
print('中序遍历：')
test_bst.inOrder()
print()
print('后序遍历：')
test_bst.postOrder()
print()
print('广度优先遍历（层序遍历）：')
test_bst.levelOrder()
print()
print('树中最小值：', test_bst.minimum())
print('树中最大值：', test_bst.maximum())
print('25的floor值：', test_bst.floor(25))
print('15的ceil值：', test_bst.ceil(15))
print('-------------------------------------------')
print('删除最小值后的层序遍历以及树的大小')
print('删除的最小值为：', test_bst.removeMin())
print('层序遍历：', end=' ')
test_bst.levelOrder()
print()
print('最小值删除后的size：', test_bst.getSize())
print('-------------------------------------------')
print('删除最大值后的层序遍历以及树的大小')
print('删除的最大值为：', test_bst.removeMax())
print('层序遍历：', end=' ')
test_bst.levelOrder()
print()
print('最大值删除后的size：', test_bst.getSize())
print('-------------------------------------------')
print('删除特定元素22，以及删除后树的大小')
test_bst.remove(22)
print('层序遍历：', end=' ')
test_bst.levelOrder()
print()
print('删除22后的size:', test_bst.getSize())
print('-------------------------------------------')
四、输出
初始大小： 0
是否为空： True
待添加元素： [15, 4, 25, 22, 3, 19, 23, 7, 28, 24]
添加元素后，树的大小： 10
是否包含28？ True
前序遍历：（递归版本）
15 4 3 7 25 22 19 23 24 28
前序遍历：（非递归版本)
15 4 3 7 25 22 19 23 24 28
中序遍历：
3 4 7 15 19 22 23 24 25 28
后序遍历：
3 7 4 19 24 23 22 28 25 15
广度优先遍历（层序遍历）：
15 4 25 3 7 22 28 19 23 24
树中最小值： 3
树中最大值： 28
25的floor值： 24
15的ceil值： 19
-------------------------------------------
删除最小值后的层序遍历以及树的大小
删除的最小值为： 3
层序遍历： 15 4 25 7 22 28 19 23 24
最小值删除后的size： 9
-------------------------------------------
删除最大值后的层序遍历以及树的大小
删除的最大值为： 28
层序遍历： 15 4 25 7 22 19 23 24
最大值删除后的size： 8
-------------------------------------------
删除特定元素22，以及删除后树的大小
层序遍历： 15 4 25 7 23 19 24
删除22后的size: 7
-------------------------------------------
五、总结
本节关于二分搜索树的代码稍微有点多，其实除了remove操作，其他的操作都很好理解。这是一个很重要的数据结构，需要慢慢消化、理解哦～。
若有还可以改进、优化的地方，还请小伙伴们批评指正！