汉诺塔问题(Hanoi)

汉诺塔问题(Hanoi)

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一、汉诺塔问题

  有三根杆子A，B，C。A杆上有N个(N>1)穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至C杆： 每次只能移动一个圆盘； 大盘不能叠在小盘上面。 提示：可将圆盘临时置于B杆，也可将从A杆移出的圆盘重新移回A杆，但都必须遵循上述两条规则。

  问：如何移？最少要移动多少次？

汉诺塔示意图如下：

三个盘的移动：

 

二、故事由来 

    法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

    不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序。这需要多少次移动呢?这里需要递归的方法。假设有n片，移动次数是f(n).显然f(1)=1,f(2)=3,f(3)=7，且f(k+1)=2*f(k)+1。此后不难证明f(n)=2^n-1。n=64时， 假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000 秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下： 18446744073709551615秒 这表明移完这些金片需要5845.54亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。真的过了5845.54亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭。

三、解法

  解法的基本思想是递归。假设有A、B、C三个塔，A塔有N块盘，目标是把这些盘全部移到C塔。那么先把A塔顶部的N-1块盘移动到B塔，再把A塔剩下的大盘移到C，最后把B塔的N-1块盘移到C。 每次移动多于一块盘时，则再次使用上述算法来移动。

输入

输入为一个整数后面跟三个单字符字符串。
整数为盘子的数目，后三个字符表示三个杆子的编号。

输出

输出每一步移动盘子的记录。一次移动一行。
每次移动的记录为例如3:a->b 的形式，即把编号为3的盘子从a杆移至b杆。
我们约定圆盘从小到大编号为1, 2, ...n。即最上面那个最小的圆盘编号为1，最下面最大的圆盘编号为n。

样例输入

3 a b c

样例输出

1:a->c
2:a->b
1:c->b
3:a->c
1:b->a
2:b->c
1:a->c

提示

可参考如下网址：
http://blog.csdn.net/geekwangminli/article/details/7981570
http://www.cnblogs.com/yanlingyin/archive/2011/11/14/2247594.html

 

 

解题思路：递归从最下面的的板开始入手，例如第n层时，需要先让前n-1层借助c柱进入到b柱,之后将a柱的n移入c柱,然后就是解决前n-1层b柱移入c柱的事情。

踩中的坑：递归中的a,b,c三柱在递归时是不断变化的，但理解时要记住最终目标时将所有的板都移入目标柱上，所以每层递归中在用第二个递归时就是将前n-1层移入第n层的目标柱上。    要从整体来看，一层一层的从下往上递归，一共有n层汉诺塔，所以在做第n层次的递归时，首先，就是为了将第n层头上的1到n-1层这个整体，通过借力c柱，移动b柱，然后就是，将第n层移到目标c柱，最后就是，将在b柱上的1到n-1层这个整体，通过接力a柱，移到c柱上（就是进入下一层递归）。

 

 

java代码：

import java.util.Scanner;
public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		int n;
		char a,b,c;
		Scanner s = new Scanner(System.in);
		n = s.nextInt();
		String temp = s.nextLine();
		char[] data = temp.toCharArray();
		a = data[1];
		b = data[3];
		c = data[5];
		Hanoi(n,a,b,c);
	}
	public static void Hanoi(int n,char a,char b,char c) {/*n代表这是第几层，a代表该次计算的起始柱，b代表借力柱，c代表目的柱*/
		if(n==0) {
			return;
		}
		Hanoi(n-1,a,c,b);/*这条递归的目的是将上面n-1层通过c柱转移到b柱*/
		print(n,a,c);/*将当前层（比前n-1层都大）移入c柱*/
		Hanoi(n-1,b,a,c);/*将剩余的n-1层通过a柱转移入c柱*/
	}
	public static void print(int n,char a,char b) {
		System.out.printf("%d:%c->%c\n",n,a,b);
	}
}