第六届蓝桥杯省赛-垒骰子（DP/矩阵快速幂）
垒骰子
赌圣atm晚年迷恋上了垒骰子，就是把骰子一个垒在另一个上边，不能歪歪扭扭，要垒成方柱体。
经过长期观察，atm 发现了稳定骰子的奥秘：有些数字的面贴着会互相排斥！
我们先来规范一下骰子：1 的对面是 4，2 的对面是 5，3 的对面是 6。
假设有 m 组互斥现象，每组中的那两个数字的面tiezai，骰子就不能稳定的垒起来。
atm想计算一下有多少种不同的可能的垒骰子方式。
两种垒骰子方式相同，当且仅当这两种方式中对应高度的骰子的对应数字的朝向都相同。
由于方案数可能过多，请输出模 10^9 + 7 的结果。
不要小看了 atm 的骰子数量哦～
「输入格式」
第一行两个整数 n m
n表示骰子数目
接下来 m 行，每行两个整数 a b ，表示 a 和 b 数字不能紧贴在一起。
「输出格式」
一行一个数，表示答案模 10^9 + 7 的结果。
「样例输入」
2 1
1 2
「样例输出」
544
「数据范围」
对于 30% 的数据：n <= 5
对于 60% 的数据：n <= 100
对于 100% 的数据：0 < n <= 10^9, m <= 36
资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 2000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意: main函数需要返回0
注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准，不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include
提交时，注意选择所期望的编译器类型。
思路一 ：DP
首先“对应高度的骰子的对应数字的朝向都相同。”这里当骰子上下端的摆放一样时，每个骰子有四个面可以转动，因此只要算出骰子摆放的方案数Sum最后乘以4^n即可。对于Sum,可以用
先用boo[i][j]=1表示第h-1个骰子i面朝上与第h个骰子 j 面朝上为合法情况
dp[i][j]在表示第i个骰子第j （0<=j<=5）面朝上的种类数，那么
dp[i][j]=sum{dp[i-1][k]}, (其中第k面朝上对应第j面朝上，即 j=(k+3)%6)
思路二：矩阵快速幂
这题n<=1e^9用dp会超时，因此可以考虑用矩阵快速幂
观察dp的状态转移公式
for(int i=2;i<=n;++i)
for(int j=0;j<6;++j)
for(int k=0;k<6;++k)
if(!boo[k][j]) dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][k])%MOD;发现其相当于在重复做利用boo[i][j]做固定的转换 dp[i][j]=dp[i-1][k]*boo[k][j]
dp[n][j]=dp[1][k]*(boo[k][j]^(n-1))
Code 1:(DP)
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAX_N=1e5+5;
const LL MOD=1e9+7;
int n,m;
LL dp[MAX_N][10];
bool boo[10][10];
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n>>m;
int u,v;
for(int i=0;i>u>>v;
boo[u-1][(v+2)%6]=boo[v-1][(u+2)%6]=true;
}
for(int i=0;i<6;++i)
dp[1][i]=1;
for(int i=2;i<=n;++i)
for(int j=0;j<6;++j)
for(int k=0;k<6;++k)
if(!boo[k][j]) dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][k])%MOD;
LL res=0,a=4;
for(int i=0;i<6;++i)
res=(res+dp[n][i])%MOD;
while(n){
if(n&1) res=res*a%MOD;
a=a*a%MOD;
n>>=1;
}
cout<
Code 2:(矩阵快速幂）
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAX_N=1e5+5;
const int MAX_S=6;
const LL MOD=1e9+7;
int n,m;
struct Matrix{
LL a[MAX_S][MAX_S];
Matrix (){ memset(a,0,sizeof(a));}
Matrix operator*(const Matrix &A){
Matrix B=Matrix();
for(int k=0;k>n>>m;
int u,v;
for(int i=0;i>u>>v;
A.a[u-1][(v+2)%6]=A.a[v-1][(u+2)%6]=0;
}
ss=Matrix_Power(A,n-1);
LL res=0,a=4;
for(int i=0;i<6;++i)
for(int j=0;j<6;++j)
res=(res+ss.a[i][j])%MOD;
while(n){
if(n&1) res=res*a%MOD;
a=a*a%MOD;
n>>=1;
}
cout<>=1;
}
return res;
}