刷题day27 动态规划（一）【斐波那契数】【爬楼梯】【使用最小花费爬楼梯】

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目录

什么是动态规划

动态规划的解题步骤

题目一：509. 斐波那契数

题目二：70. 爬楼梯

题目三：746. 使用最小花费爬楼梯

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什么是动态规划

动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。

特征:一个问题，可以拆分成一个一个的子问题，解决子问题，顺带解决这个问题

核心思想:拆分子问题，记住过程，减少重复运算。

例子:

• 1+1+1+1+1+1=? 等于6

• 在上面式子的在加上一个“1+”。答案是多少?

• 直接通过之前计算过的答案，再加1

动态规划的解题步骤

做动规题目的时候，很多同学会陷入一个误区，就是以为把状态转移公式背下来，照葫芦画瓢改改，就开始写代码，甚至把题目AC之后，都不太清楚dp[i]表示的是什么。

这就是一种朦胧的状态，然后就把题给过了，遇到稍稍难一点的，可能直接就不会了，然后看题解，然后继续照葫芦画瓢陷入这种恶性循环中。

状态转移公式（递推公式）是很重要，但动规不仅仅只有递推公式。

dp五步曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

2. 确定递推公式

3. dp数组如何初始化

4. 确定遍历顺序

5. 举例推导dp数组

题目一：509. 斐波那契数

509. 斐波那契数

(https://leetcode.cn/problems/fibonacci-number/description/)

斐波那契数大家应该是非常熟悉了，虽然这题简单，但我们目的是用这题加深对解题方法论的理解的。

动规五部曲：

1.确定dp数组以及下标的含义

这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果，

dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]

2.确定递推公式

题目已经直接把递推公式给我们了，状态转移方程：

dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

3.dp数组如何初始化

如何初始化题目也是给了的，

dp[0] = 0;
dp[1] = 1;

4.确定遍历顺序

从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

5.举例推导dp数组

按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

法一，代码如下：

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if(n<2){
            return n;
        }
        int[] dp =new int[n+1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
}

法二，其实我们只需维护两个数值就可以了，不用记录整个序列。代码如下：

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if(n<2){
            return n;
        }
        int[] dp = new int[2];
        dp[0]=0;
        dp[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            int sum = dp[0]+dp[1];
            dp[0]=dp[1];
            dp[1]=sum;
        }
        return dp[1];
    }
}

题目二：70. 爬楼梯

70. 爬楼梯

(https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/description/)

这题也十分经典。

爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。

那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 ，第二层楼梯再跨一步就到第三层。

所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划了。

动规五部曲：

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i]：爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法

2.确定递推公式

从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。

首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。

还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。

那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！

所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。

在推导dp[i]的时候，一定要时刻想着dp[i]的定义，否则容易跑偏。

3.dp数组如何初始化

再回顾一下dp[i]的定义：爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法。

讨论第0层也没什么意义，根据题目可以从1、2层开始：

第1层：dp[1] = 1

第2层：dp[2] = 2

4.确定遍历顺序

从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的

5.举例推导dp数组

如果代码出问题了，就把dp table 打印出来，看看究竟是不是和自己推导的一样。

完整代码如下：

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n<=2){
            return n;
        }
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[1]=1;
        dp[2]=2;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
}

题目三：746. 使用最小花费爬楼梯

746. 使用最小花费爬楼梯

(https://leetcode.cn/problems/min-cost-climbing-stairs/description/)

注意题目理解，

是可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。然后你当你往上爬时才需要支付费用。

动规五步曲：

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i]:到达第i台阶所支付的最少费用。

2.确定递推公式

可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。

dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。

dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。

那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？

一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);

3.dp数组如何初始化

题目“你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。” 也就是说 到达 第 0 个台阶是不花费的，但从 第0 个台阶 往上跳的话，需要花费 cost[0]。

所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0;

4.确定遍历顺序

本题的遍历顺序其实比较简单，简单到很多同学都忽略了思考这一步直接就把代码写出来了。

因为是模拟台阶，而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。

其实后面稍微有些难度的动态规划，比如背包问题等等，其遍历顺序可能就没那么容易确定下来了，所以还是需要养成考虑遍历顺序的习惯。

5.举例推导dp数组

如果大家代码写出来有问题，就把dp数组打印出来，看看和自己的推导的是不是一样的。

代码如下：

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int n = cost.length;
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0]=0;// 默认第一步都是不花费体力的
        dp[1]=0;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            dp[i] = Math.min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
        }
        return dp[n];
​
    }
}

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