【2019银川网络赛D：】Take Your Seat（概率--递推+思维）

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题目：

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（1）n个人，编号1->n， 每个人一张车票，车票上写着自己的座位号，座位号=编号。

编号为1的人弄丢了自己的车票，1->n按顺序上车，由于1号手中没有车票，不知道自己的座位号，所以他可以任选一个座位，对于其他人，如果他的座位被其他人占了，他可以任选一个座位坐，问编号为n的人坐到座位号n的概率？

（2）m个人，编号1->m， 每个人一张车票，车票上写着自己的座位号，座位号=编号。

编号为1的人弄丢了自己的车票，m个人按照1->m的某种排列顺序上车，同样的，1号可以任选没有人坐的座位，对于其他人，如果他的位置被占了，他可以任选一个座位坐，问编号为n的人坐到座位号n的概率？

 

解题思路：

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表示n个人按照编号顺序从小到大排列准备上车，第n个人坐到座位n的概率。

易推得：

（1）n≥2时，对于第1个人：

若他选择的是1号座位，那么第n个人一定能坐到座位n；

若他选择的是n号座位，那么第n个人一定不能坐到座位n；

若他选择的是k号座位（2≤k≤n-1），那么当k≥3时，编号在[2,k-1]区间内的人都能坐到自己对应的座位上，当轮到第k个人选择座位时，因为k号座位已经选过，所以他只能从1、k+1、、、n-1、n之间选择，这n-k+1个人又可以转化为nn=n-k+1，求。

所以可以推出

手算可以得出

(2)m个人，考虑编号为1的人所处的位置，若为t，那么编号在[1,t-1]内的人都能坐到自己对应的位置上，那么问题就可以转化为

可推得

又因为,故最终求得

 

ac代码：

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#include
using namespace std;
const int maxn = 100;
int main()
{
    //freopen("/Users/zhangkanqi/Desktop/11.txt","r",stdin);
    int t, n, m, Case = 0;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d %d", &n, &m);
        double a, b;
        if(n == 1) a = 1.0;
        else  a = 1.0/2.0;
        if(m == 1) b = 1.0;
        else b = (m+1)*1.0/(m*2.0);
        printf("Case #%d: %.6lf %.6lf\n", ++Case, a, b);
    }
    return 0;
}