[ACdream]娜娜梦游仙境系列——吃不完的糖果

Problem Description

娜娜好不容易才在你的帮助下”跳”过了这个湖，果然车到山前必有路，大战之后必有回复，大难不死，必有后福！现在在娜娜面前的就是好多好多的糖果还有一些黑不溜秋的东西！不过娜娜眼中只有吃不完的糖果！娜娜高兴地快要蹦起来了！

这时有一位挥着翅膀的女孩（天使？鸟人？）飞过来，跟娜娜说，这些糖果是给你的~（娜娜已经两眼放光）~你可以带走~（娜娜已经流下了口水）~但是~（神马？还有但是？）~这位神仙姐姐挥一挥翅膀~飘过了一片云彩，糖果和那些黑不溜秋的东西顿时飞了起来，落到地上成了摆成一个奇怪的图形。

神仙姐姐很满意，转过来对娜娜说：“这些糖果和黑洞（神马？黑洞？）分成n堆，每堆要么都是糖果，要么是黑洞，围成一个圈（即第1堆的旁边是第n堆和第2堆），你可以选择连续若干堆，然后带走，不过这些黑洞嘛，会馋嘴的小孩吸进去，你必须拿糖果去中和掉。”

娜娜喜欢糖果，但不喜欢动脑子~于是就把这个问题交给你，怎样才能让娜娜带走最多的糖果呢？

Input

多组数据，首先是一个正整数t（t<=20）表示数据组数
对于每组数据，包括两行，第一行是一个正整数n（3<=n<=100000）表示堆数
第二行是n个整数xi，如果是个正整数，则说明这是一堆数量为x[i]的糖果，如果是个负整数，则说明这是一个需要用abs(x[i])颗糖果去中和的黑洞。

Output

对于每组数据，输出一个整数，表示娜娜最多能带走的糖果数。

Sample Input

3
5
1 2 3 4 5
5
1 -2 3 -4 5
5
-1 -2 -3 -4 -5

Sample Output

15
7
0

Hint

对于样例1，娜娜可以把所有的糖果都拿走，所以输出15(=1+2+3+4+5)
对于样例2，娜娜可以拿走第1,2,3,5堆的糖果，别忘了这是摆成一个圈，所以输出7(=1+(-2)+3+5)
对于样例3，等待娜娜的是5个黑洞，可怜的娜娜，一个糖果都拿不掉，所以输出0
由于输入数据较多，请谨慎使用cin/cout

My Problem Report

这道题求的是一个环中的最大字串和，和HDU1003 Max Sum很相似。但此题一个错误的思路是将环展开，延长一倍。反例如下：

1 1 1 -1 -1 1

拓展后（2n-1）：

1 1 1 -1 -1 1 [1] 1 1 -1 -1

输出中间结果（f[i]）观察：

1 2 3 2 1 2 [1] 2 3 2 1

很明显可以看到第七位出现了错误。这是因为我在算法中加入了一个cnt数组在纪录当前串长度以避免长度超过n。我们来深入分析一下这个错误发生的原因：

当遍历到第七个点的时候，我们发现无法再继承上一个状态了，而当前状态也不是最优的。那如果我们在cnt达到n时比较一下当前点(1)与当前字串头(1)，再决定是否继承呢？很显然这个决策也不是最优的，因为最优的决策是舍弃当前长度为6的字串的前5位，仅保留最后一位。也就是说，再这样的情境下，实际我们过去所作出的决策是有后效性的。

这个问题看起来就变得复杂了，但其实我们可以把它拆分为两个简单的子问题，再分别解决。

方法一：先求未拓展串中的最大字串和max1，再利用后缀和分别得未拓展串两端的最大字串和并合并得max2，最后max＝Max｛max1，max2｝
方法二：原理与方法一相同，先求未拓展串中的最大字串和max1，再将原串所有元素取相反数，求得最大字串和max2’。但实际上，max2’是未拓展串中的最小字串和，不过当我们用未拓展串和sum减去它之后，就得到了方法一中的max2。综合起来max＝Max｛max1，sum－max2’｝

方法一代码见下。

My Source Code

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//  http://acdream.info/contest?cid=1244#problem-C

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define ll long long

int t,n,cnt[200010];
ll a[200010],f[200010],l[200010],r[200010],maxn;

int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    scanf("%d",&t);
for(int ca=1;ca<=t;ca++)
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    memset(l,0,sizeof(l));
    memset(r,0,sizeof(r));
    scanf("%d",&n);
    maxn=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(f[i-1]+a[i]>a[i])
            f[i]=f[i-1]+a[i];
        else
            f[i]=a[i];
        if(maxn1]+a[i];
        r[n-i+1]=r[n-i+2]+a[n-i+1];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(l[i]1])
            l[i]=l[i-1];
        if(r[n-i+1]2])
            r[n-i+1]=r[n-i+2];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(l[i]+r[i+1]>maxn)
            maxn=l[i]+r[i+1];
    printf("%lld\n",maxn);
}
    return 0;
}