例题：信使 最优乘车 最短路径 图论算法之Floyed 学习笔记
图论算法之Floyed
算法思路：最短路问题中，求两个点的最短路，有可能存在中间有中转点的情况，比直接到达要优。Floyed就是利用了这个思路。如果求ij之间的最短路，那么如果ik之间的最短路+kj之间的最短路要小于当前ij之间的最短路的话，我们就认为以k为中转点要更优，更新答案。
时间复杂度：O(N^3)；
【代码】
#include
#include
#include
using namespace std;
int n,m,s,t,dis[105][105],x,y,z,maxn,i,j,k;
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m,&s,&t);
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
dis[i][j]=0x7777777;
for (i=1;i<=m;++i)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
dis[x][y]=z;
dis[y][x]=z;
}
for (k=1;k<=n;++k)
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
if (dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])
dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
printf("%d",dis[s][t]);
return 0;
} 【注意】三层循环尤其是k的顺序不能弄错！
特殊的，跑一边Floyed之后，我们就求出了任意两点之间的最短路。所以虽然Floyed的时间复杂度比较高，在求多组最短路这一方面还是有用武之地的。【单源最短路径的输出】
设pre[i][j]表示i->j最短路径j的前驱；
那么每次更新答案了之后pre[i][j]的值就更新为pre[k][j]；最后递归输出最短路径；
void print(int x)
{
if (pre[a][x] == 0) return; //pre[a][a]=0,说明已经递归到起点a
print(pre[a][x]);
cout << "->" << x;
}
for (k = 1; k <= n; k++) //floyed 最短路
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = 1; j <= n; j++)
if ((i != j) && (i != k) && (j != k))
if (dis[i][j] > dis[i][k]+dis[k][j])
{
dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
pre[i][j] = pre[k][j];
//从i到j的最短路径更新为i→k→j，那么i到j最短路径j的前驱就肯定与k到j最短路径j的前驱相同。
}
cout << a;
print(b); //a是起点，b是终点
return 0;
}在进行Floyed的同时，可以顺便求出最小环。
g[i][j]为边权。
for (k = 1; k <= n; k++)
{
for (i = 1; i <= k-1; i++)
for (j = 1; j <= k-1; j++)
answer = min(answer,dis[i][j]+g[j][k]+g[k][i]);
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = 1; j <= n; j++)
dis[i][j]:=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
}【用Floyed的思路来判断两点之间是否连通】
只需要把循环中的语句改成dis[i][j]=dis[i][j]||dis[i][k]&&dis[k][j]（dis为bool型数组，dis[i][j]表示ij是否连通）就可以实现；
下面看两个基础的Floyed的例子：
例1 信使
#include
#include
#include
using namespace std;
int n,m,a,dis[105][105],x,y,z,maxn;
int i,j,k;
int main()
{
freopen("msner.in","r",stdin);
freopen("msner.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
dis[i][j]=0x7777777;
for (i=1;i<=m;++i)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
dis[x][y]=z;
dis[y][x]=z;
}
for (k=1;k<=n;++k)
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
if (dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])
dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
for (i=2;i<=n;++i)
{
if (dis[1][i]==0x7777777)
{
printf("-1");
return 0;
}
if (maxn 【问题描述】
H城是一个旅游胜地，每年都有成千上万的人前来观光。为方便游客，巴士公司在各个旅游景点及宾馆，饭店等地都设置了巴士站并开通了一些单程巴上线路。每条单程巴士线路从某个巴士站出发，依次途经若干个巴士站，最终到达终点巴士站。
一名旅客最近到H城旅游，他很想去S公园游玩，但如果从他所在的饭店没有一路巴士可以直接到达S公园，则他可能要先乘某一路巴士坐几站，再下来换乘同一站台的另一路巴士, 这样换乘几次后到达S公园。
现在用整数1,2,…N 给H城的所有的巴士站编号，约定这名旅客所在饭店的巴士站编号为1，S公园巴士站的编号为N。
写一个程序，帮助这名旅客寻找一个最优乘车方案,使他在从饭店乘车到S公园的过程
中换车的次数最少。
【输入格式】
输入文件是Travel.in。文件的第一行有两个数字M和N(1<=M<=1001
【输出格式】
输出文件是Travel.out，文件只有一行。如果无法乘巴士从饭店到达S公园，则输出"N0"，否则输出你的程序所找到的最少换车次数，换车次数为0表示不需换车即可到达。
【输入样例】Travel.in
3 7
6 7
4 7 3 6
2 1 3 5
【输出样例】Travel.out
2
#include
#include
#include
using namespace std;
int n,m,i,j,k,s,ans;
int dis[505][505],a[505];
char c;
int main()
{
freopen("travel.in","r",stdin);
freopen("travel.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&m,&n);
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
dis[i][j]=0x7777777;
for (i=1;i<=m;++i)
{
s=0;
c=0;
while (c!=10)
{
s++;
cin>>a[s];
scanf("%c",&c);
}
for (j=1;j<=s-1;++j)
for (k=j+1;k<=s;++k)
dis[a[j]][a[k]]=1;
}
for (k=1;k<=n;++k)
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
if (dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])
dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
if (dis[1][n]==0x7777777)
{
printf("NO");
return 0;
}
ans=dis[1][n]-1;
printf("%d",ans);
return 0;
} 【问题描述】
给出一个有向图G=(V,E)，和一个源点v0∈V，请写一个程序输出v0和图G中其它顶点的最短路径。只要所有的有向环都是正的，我们就允许图的边有负值。顶点的标号从1到n（n为图G的顶点数）。
【输入格式】
第1行：一个正数n（2<=n<=80），表示图G的顶点总数。
第2行：一个整数，表示源点v0（v0∈V，v0可以是图G中任意一个顶点）。
第3至第n+2行，用一个邻接矩阵W给出了这个图。
【输出格式】
共包含n-1行，按照顶点编号从小到大的顺序，每行输出源点v0到一个顶点的最短距离。每行的具体格式参照样例。
【输入样例】
5
1
0 2 - - 10
- 0 3 - 7
- - 0 4 -
- - - 0 5
- - 6 - 0
【输出样例】
(1 -> 2) = 2
(1 -> 3) = 5
(1 -> 4) = 9
(1 -> 5) = 9
【解题思路】#include
#include
#include
using namespace std;
int n,v0,i,j,k,a;
long long dis[105][105];
char s[20];
void work(int u,int t)
{
int i,len,j,l;
long long k;
bool pd;
pd=false;
if (s[0]=='-')
{
pd=true;
l=1;
}
else l=0;
dis[u][t]=0;
k=1;
len=strlen(s);
for (i=len-1;i>=l;--i)
{
j=s[i]-48;
dis[u][t]+=j*k;
k*=10;
}
if (pd==true)
dis[u][t]=-dis[u][t];
}
int main()
{
freopen("shopth.in","r",stdin);
freopen("shopth.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
scanf("%d",&v0);
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
dis[i][j]=1000000000000000000;
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
{
cin>>s;
if (strlen(s)!=1||s[0]!='-')
work(i,j);
}
for (k=1;k<=n;++k)
for (i=1;i<=n;++i)
for (j=1;j<=n;++j)
if (dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])
dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
for (i=1;i<=n;++i)
if (i!=v0)
{
printf("(%d -> %d) = ",v0,i);
cout<