[BZOJ3994][SDOI2015]约数个数和（莫比乌斯反演）

题目描述

传送门

题解

首先考虑如何求 d(n,m)
有一个很神的结论：

d(nm)=∑i|n∑j|m[gcd(i,j)=1]

题目要求

∑i=1N∑j=1Md(ij)

令 N<M
可以知道上面那个式子的前缀和即为答案，即

∑i=1N∑j=1Md(ij)=∑n=1N∑m=1M∑i|n∑j|m[gcd(i,j)=1]

那么再化简一下

∑i=1N∑j=1Md(ij)=∑n=1N∑i|n∑m=1M∑j|m∑d=1N[d|i][d|j]μ(d)

观察这个式子，选出来的i其实是[1,N]范围内所有数的约数，会有很多重复的，重复的个数为 ⌊Ni⌋
那么改一下形式

∑i=1N∑j=1Md(ij)=∑i=1N∑j=1M⌊Ni⌋⌊Mj⌋∑d=1N[d|i][d|j]μ(d)

令i=id j=jd

∑i=1N∑j=1Md(ij)=∑d=1Nμ(d)∑i=1Nd∑j=1Md⌊Nid⌋⌊Mjd⌋

∑i=1N∑j=1Md(ij)=∑d=1Nμ(d)∑i=1Nd∑j=1Md⌊Ndi⌋⌊Mdj⌋

设 f(n)=∑i=1n⌊ni⌋
那么

∑i=1N∑j=1Md(ij)=∑d=1Nμ(d)f(Nd)f(Md)

其中f用分块可以在 O(nn−−√) 时间内求出
μ 可以 O(n) 筛出来
但是这道题有多组数据直接暴力枚举d还是不可做。
再观察， f(Nd) f(Md) 只有 n−−√+m−−√ 种取值，也可以分块来求。
时间复杂度 O(nn−−√+T∗(n−−√+m−−√))

代码

#include
#include
#include
using namespace std;
#define LL long long
const int N=5e4;
int mu[N+5],p[N+5],prime[N+5],f[N+5];
int T,n,m,p1,p2;
LL ans;

inline void get_mu(){
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=N;++i){
        if (!p[i]){
            prime[++prime[0]]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=N;++j){
            p[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
inline int get_f(int n){
    int ans=0;
    for (int i=1,j;i<=n;i=j+1){
        j=n/(n/i);
        ans+=(n/i)*(j-i+1);
    }
    return ans;
}

int main(){
    get_mu();
    for (int i=1;i<=N;++i) mu[i]+=mu[i-1];
    for (int i=1;i<=N;++i)
      f[i]=get_f(i);
    scanf("%d",&T);
    while (T--){
        scanf("%d%d",&n,&m); if (n>m) swap(n,m);
        ans=0; p1=p2=1;
        for (int i=1,j;i<=n;i=j+1){
            j=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=(LL)f[n/i]*f[m/i]*(mu[j]-mu[i-1]);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}