快速排序算法分析

快速排序
算法分析：
快速排序的最直接竞争者是堆排序（Heapsort）。堆排序通常比快速排序稍微慢，但是最坏情况的运行时间总是O(n log n)。快速排序是经常比较快，除了introsort变化版本外，仍然有最坏情况性能的机会。如果事先知道堆排序将会是需要使用的，那么直接地使用堆排序比等待introsort再切换到它还要快。堆排序也拥有重要的特点，仅使用固定额外的空间（堆排序是原地排序），而即使是最佳的快速排序变化版本也需要Θ(log n)的空间。然而，堆排序需要有效率的随机存取才能变成可行。
快速排序也与归并排序（Mergesort）竞争，这是另外一种递归排序算法，但有坏情况O(n log n)运行时间的优势。不像快速排序或堆排序，归并排序是一个稳定排序，且可以轻易地被采用在链表（linked list）和存储在慢速访问媒体上像是磁盘存储或网络连接存储的非常巨大数列。尽管快速排序可以被重新改写使用在炼串列上，但是它通常会因为无法随机存取而导致差的基准选择。归并排序的主要缺点，是在最佳情况下需要Ω(n)额外的空间。

时间复杂度：
从一开始快速排序平均需要花费O(n log n)时间的描述并不明显。但是不难观察到的是分区运算，数组的元素都会在每次循环中走访过一次，使用O(n)的时间。在使用结合（concatenation）的版本中，这项运算也是O(n)。
在最好的情况，每次我们运行一次分区，我们会把一个数列分为两个几近相等的片段。这个意思就是每次递归调用处理一半大小的数列。因此，在到达大小为一的数列前，我们只要作log n次嵌套的调用。这个意思就是调用树的深度是O(log n)。但是在同一层次结构的两个程序调用中，不会处理到原来数列的相同部分；因此，程序调用的每一层次结构总共全部仅需要O(n)的时间（每个调用有某些共同的额外耗费，但是因为在每一层次结构仅仅只有O(n)个调用，这些被归纳在O(n)系数中）。结果是这个算法仅需使用O(n log n)时间。
另外一个方法是为T(n)设立一个递归关系式，也就是需要排序大小为n的数列所需要的时间。在最好的情况下，因为一个单独的快速排序调用牵涉了O(n)的工作，加上对n/2大小之数列的两个递归调用，这个关系式可以是：
T(n) = O(n) + 2T(n/2)
解决这种关系式型态的标准数学归纳法技巧告诉我们T(n) = O(n log n)。
事实上，并不需要把数列如此精确地分区；即使如果每个基准值将元素分开为99%在一边和1%在另一边，调用的深度仍然限制在100log n，所以全部运行时间依然是O(nlog n)。
然而，在最坏的情况是，两子数列拥有大各为1和n-1，且调用树（call tree）变成为一个n个嵌套（nested）调用的线性连串（chain）。第i次调用作了O(n-i)的工作量，且 递归关系式为：
T(n) = O(n) + T(1) + T(n - 1) = O(n) + T(n - 1)
这与插入排序和选择排序有相同的关系式，以及它被解为T(n) = O(n2)。
空间复杂度：
被快速排序所使用的空间，依照使用的版本而定。使用原地（in-place）分区的快速排序版本，在任何递归调用前，仅会使用固定的額外空間。然而，如果需要产生O(logn)嵌套递归调用，它需要在他们每一个存储一个固定数量的信息。因为最好的情况最多需要O(log n)次的嵌套递归调用，所以它需要O(log n)的空间。最坏情况下需要O(n)次嵌套递归调用，因此需要O(n)的空间。
然而我们在这里省略一些小的细节。如果我们考虑排序任意很长的数列，我们必须要记住我们的变量像是left和right，不再被认为是占据固定的空间；也需要O(log n)对原来一个n项的数列作索引。因为我们在每一个堆栈框架中都有像这些的变量，实际上快速排序在最好跟平均的情况下，需要O(log2 n)空间的比特数，以及最坏情况下O(nlog n)的空间。然而，这并不会太可怕，因为如果一个数列大部分都是不同的元素，那么数列本身也会占据O(n log n)的空间字节。
非原地版本的快速排序，在它的任何递归调用前需要使用O(n)空间。在最好的情况下，它的空间仍然限制在O(n)，因为递归的每一阶中，使用与上一次所使用最多空间的一半，且它的最坏情况是很恐怖的，需要空间，远比数列本身还多。如果这些数列元素本身自己不是固定的大小，这个问题会变得更大；举例来说，如果数列元素的大部分都是不同的，每一个将会需要大约O(logn)为原来存储，导致最好情况是O(n log n)和最坏情况是O(n2 log n)的空间需求。
最坏时间复杂度： O(n²)
最优时间复杂度： O(nlogn)
平均时间复杂度： O(nlogn)
空间复杂度： 根据实现的方式不同而不同