From： http://www.tuicool.com/articles/bEfMZr
矩阵的奇异值分解在矩阵理论的重要性不言而喻，它在最优化问题、特征值问题、最小乘方问题、广义逆矩阵问,统计学,图像压缩等方面都有十分重要的应用。
定义： 设A为m*n阶矩阵， A H A 的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值。记为 σ i (A)。> 如果把A H A的特征值记为λ i (A)，则σ i (A)＝ λ i (A H A)^(1/2)。
定理 （奇异值分解）设A为m*n阶复矩阵，则存在m阶酉阵U和n阶酉阵V，使得：
A = U*S*V’
其中S=diag(σ i ,σ 2 ,……,σ r )，σ i >0 (i=1,…,r)，r=rank(A) 。
推论： 设A为m*n阶实矩阵，则存在m阶正交阵U和n阶正交阵V，使得
A = U*S*V’
其中S=diag(σ i ,σ 2 ,……,σ r )，σ i >0 (i=1,…,r)，r=rank(A) 。
奇异值分解提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（S的阶数）和A的秩相同，一旦秩r确定，那么U的前r 列构成了A的列向量空间的正交基，另外V的从右向左n-r列为A的kernel的基。
非退化的奇异值具有唯一的左、右奇异向量，如果 A 的所有奇异值都是非退化且非零，则它的奇异值分解是唯一的，因为 U 中的一列要乘以一个单位相位因子且同时 V 中相应的列也要乘以同一个相位因子。
根据定义，退化的奇异值具有不唯一的奇异向量。因为，如果 u 1 和 u 2 为奇异值σ的两个左奇异向量，则两个向量的任意规范线性组合也是奇异值σ一个左奇异向量，类似的，右奇异向量也具有相同的性质。因此，如果 MA 具有退化的奇异值，则它的奇异值分解是不唯一的。
在压缩图像应用中，抽象的例子可以入下图所示：
上图中三个矩阵相乘的结果将会是一个接近于A的矩阵，在这儿，r越接近于n，则相乘的结果越接近于A。而这三个矩阵的面积之和（在存储观点来说，矩阵面积越小，存储量就越小）要远远小于原始的矩阵A，我们如果想要压缩空间来表示原矩阵A，我们存下这里的三个矩阵：U、Σ、V就好了。
主要应用领域
一、奇异值与主成分分析（PCA）
PCA的问题其实是一个基的变换，使得变换后的数据有着最大的方差。方差的大小描述的是一个变量的信息量，我们在讲一个东西的稳定性的时候，往往说要减小方差，如果一个模型的方差很大，那就说明模型不稳定了。但是对于我们用于机器学习的数据（主要是训练数据），方差大才有意义，不然输入的数据都是同一个点，那方差就为0了，这样输入的多个数据就等同于一个数据了。以下面这张图为例子：
这个假设是一个摄像机采集一个物体运动得到的图片，上面的点表示物体运动的位置，假如我们想要用一条直线去拟合这些点，那我们会选择什么方向的线呢？当然是图上标有signal的那条线。如果我们把这些点单纯的投影到x轴或者y轴上，最后在x轴与y轴上得到的方差是相似的（因为这些点的趋势是在45度左右的方向，所以投影到x轴或者y轴上都是类似的），如果我们使用原来的xy坐标系去看这些点，容易看不出来这些点真正的方向是什么。但是如果我们进行坐标系的变化，横轴变成了signal的方向，纵轴变成了noise的方向，则就很容易发现什么方向的方差大，什么方向的方差小了。
一般来说，方差大的方向是信号的方向，方差小的方向是噪声的方向，我们在数据挖掘中或者数字信号处理中，往往要提高信号与噪声的比例，也就是信噪比。对上图来说，如果我们只保留signal方向的数据，也可以对原数据进行不错的近似了。
PCA的全部工作简单点说，就是对原始的空间中顺序地找一组相互正交的坐标轴，第一个轴是使得方差最大的，第二个轴是在与第一个轴正交的平面中使得方差最大的，第三个轴是在与第1、2个轴正交的平面中方差最大的，这样假设在N维空间中，我们可以找到N个这样的坐标轴，我们取前r个去近似这个空间，这样就从一个N维的空间压缩到r维的空间了，但是我们选择的r个坐标轴能够使得空间的压缩使得数据的损失最小。
还是假设我们矩阵每一行表示一个样本，每一列表示一个feature，用矩阵的语言来表示，将一个m * n的矩阵A的进行坐标轴的变化，P就是一个变换的矩阵从一个N维的空间变换到另一个N维的空间，在空间中就会进行一些类似于旋转、拉伸的变化。
而将一个m * n的矩阵A变换成一个m * r的矩阵，这样就会使得本来有n个feature的，变成了有r个feature了（r < n)，这r个其实就是对n个feature的一种提炼，我们就把这个称为feature的压缩。用数学语言表示就是：
但是这个怎么和SVD扯上关系呢？之前谈到，SVD得出的奇异向量也是从奇异值由大到小排列的，按PCA的观点来看，就是方差最大的坐标轴就是第一个奇异向量，方差次大的坐标轴就是第二个奇异向量…我们回忆一下之前得到的SVD式子：
在矩阵的两边同时乘上一个矩阵V，由于V是一个正交的矩阵，所以V转置乘以V得到单位阵I，所以可以化成后面的式子
将后面的式子与A * P那个m * n的矩阵变换为m * r的矩阵的式子对照看看，在这里，其实V就是P，也就是一个变化的向量。这里是将一个m * n 的矩阵压缩到一个m * r的矩阵，也就是对列进行压缩，如果我们想对行进行压缩（在PCA的观点下，对行进行压缩可以理解为，将一些相似的sample合并在一起，或者将一些没有太大价值的sample去掉）怎么办呢？同样我们写出一个通用的行压缩例子：
这样就从一个m行的矩阵压缩到一个r行的矩阵了，对SVD来说也是一样的，我们对SVD分解的式子两边乘以U的转置U’
这样我们就得到了对行进行压缩的式子。可以看出，其实PCA几乎可以说是对SVD的一个包装，如果我们实现了SVD，那也就实现了PCA了，而且更好的地方是，有了SVD，我们就可以得到两个方向的PCA，如果我们对A’A进行特征值的分解，只能得到一个方向的PCA。
二、奇异值与潜在语义索引LSI
潜在语义索引（Latent Semantic Indexing）与PCA不太一样，至少不是实现了SVD就可以直接用的，不过LSI也是一个严重依赖于SVD的算法，在 矩阵计算与文本处理中的分类问题 中谈到：
“三个矩阵有非常清楚的物理含义。第一个矩阵X中的每一行表示意思相关的一类词，其中的每个非零元素表示这类词中每个词的重要性（或者说相关性），数值越大越相关。最后一个矩阵Y中的每一列表示同一主题一类文章，其中每个元素表示这类文章中每篇文章的相关性。中间的矩阵则表示类词和文章雷之间的相关性。因此，我们只要对关联矩阵A进行一次奇异值分解，w 我们就可以同时完成了近义词分类和文章的分类。（同时得到每类文章和每类词的相关性）。”
上面这段话可能不太容易理解，不过这就是LSI的精髓内容，我下面举一个例子来说明一下，下面的例子来自LSA tutorial：
这就是一个矩阵，不过不太一样的是，这里的一行表示一个词在哪些title中出现了（一行就是之前说的一维feature），一列表示一个title中有哪些词，（这个矩阵其实是我们之前说的那种一行是一个sample的形式的一种转置，这个会使得我们的左右奇异向量的意义产生变化，但是不会影响我们计算的过程）。比如说T1这个title中就有guide、investing、market、stock四个词，各出现了一次，我们将这个矩阵进行SVD，得到下面的矩阵：
左奇异向量表示词的一些特性，右奇异向量表示文档的一些特性，中间的奇异值矩阵表示左奇异向量的一行与右奇异向量的一列的重要程序，数字越大越重要。
继续看这个矩阵还可以发现一些有意思的东西，首先，左奇异向量的第一列表示每一个词的出现频繁程度，虽然不是线性的，但是可以认为是一个大概的描述，比如book是0.15对应文档中出现的2次，investing是0.74对应了文档中出现了9次，rich是0.36对应文档中出现了3次；
其次，右奇异向量中一的第一行表示每一篇文档中的出现词的个数的近似，比如说，T6是0.49，出现了5个词，T2是0.22，出现了2个词。
然后我们反过头来看，我们可以将左奇异向量和右奇异向量都取后2维（之前是3维的矩阵），投影到一个平面上，可以得到：
在图上，每一个红色的点，都表示一个词，每一个蓝色的点，都表示一篇文档，这样我们可以对这些词和文档进行聚类，比如说stock 和 market可以放在一类，因为他们老是出现在一起，real和estate可以放在一类，dads，guide这种词就看起来有点孤立了，我们就不对他们进行合并了。按这样聚类出现的效果，可以提取文档集合中的近义词，这样当用户检索文档的时候，是用语义级别（近义词集合）去检索了，而不是之前的词的级别。这样一减少我们的检索、存储量，因为这样压缩的文档集合和PCA是异曲同工的，二可以提高我们的用户体验，用户输入一个词，我们可以在这个词的近义词的集合中去找，这是传统的索引无法做到的。
三、图像压缩
我们来看一个奇异值分解在数据表达上的应用。假设我们有如下的一张 15 x 25 的图像数据。
如图所示，该图像主要由下面三部分构成。
我们将图像表示成 15 x 25 的矩阵，矩阵的元素对应着图像的不同像素，如果像素是白色的话，就取 1，黑色的就取 0. 我们得到了一个具有375个元素的矩阵，如下图所示
如果我们对矩阵M进行奇异值分解以后，得到奇异值分别是
σ 1 = 14.72
σ 2 = 5.22
σ 3 = 3.31
矩阵M就可以表示成
M = u 1 σ 1 v 1 T + u 2 σ 2 v 2 T + u 3 σ 3 v 3 T
v i 具有15个元素， u i 具有25个元素，σ i 对应不同的奇异值。如上图所示，我们就可以用123个元素来表示具有375个元素的图像数据了。
四、去除噪声
前面的例子的奇异值都不为零，或者都还算比较大，下面我们来探索一下拥有零或者非常小的奇异值的情况。通常来讲，大的奇异值对应的部分会包含更多的信息。比如，我们有一张扫描的，带有噪声的图像，如下图所示
我们采用跟实例二相同的处理方式处理该扫描图像。得到图像矩阵的奇异值：
σ 1 = 14.15
σ 2 = 4.67
σ 3 = 3.00
σ 4 = 0.21
σ 5 = 0.19
…
σ 15 = 0.05
很明显，前面三个奇异值远远比后面的奇异值要大，这样矩阵 M 的分解方式就可以如下：
M u 1 σ 1 v 1 T + u 2 σ 2 v 2 T + u 3 σ 3 v 3 T
经过奇异值分解后，我们得到了一张降噪后的图像。
五、数据分析
我们搜集的数据中总是存在噪声：无论采用的设备多精密，方法有多好，总是会存在一些误差的。如果你们还记得上文提到的，大的奇异值对应了矩阵中的主要信息的话，运用SVD进行数据分析，提取其中的主要部分的话，还是相当合理的。
作为例子，假如我们搜集的数据如下所示：
我们将数据用矩阵的形式表示：
经过奇异值分解后，得到
σ 1 = 6.04
σ 2 = 0.22
由于第一个奇异值远比第二个要大，数据中有包含一些噪声，第二个奇异值在原始矩阵分解相对应的部分可以忽略。经过SVD分解后，保留了主要样本点如图所示
就保留主要样本数据来看，该过程跟PCA( principal component analysis)技术有一些联系，PCA也使用了SVD去检测数据间依赖和冗余信息.
参考资料：
1） http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2011/01/19/svd-and-applications.html
2）A Tutorial on Principal Component Analysis, Jonathon Shlens
3） http://www.puffinwarellc.com/index.php/news-and-articles/articles/30-singular-value-decomposition-tutorial.html
4） http://www.puffinwarellc.com/index.php/news-and-articles/articles/33-latent-semantic-analysis-tutorial.html
5） http://www.miislita.com/information-retrieval-tutorial/svd-lsi-tutorial-1-understanding.html
6）Singular Value Decomposition and Principal Component Analysis, Rasmus Elsborg Madsen, Lars Kai Hansen and Ole Winther, 2004
7） http://blog.sciencenet.cn/blog-696950-699432.html