数据库笔记(十二)——函数依赖理论和分解算法

函数依赖理论

  • 逻辑蕴涵

    • 定义:

      • 存在如下条件
        • 关系模式:r(R)
        • 依赖集:F (由一个或多个依赖组成)
        • 依赖:f
      • 若r(R)满足F ==> r(R)满足f
      • 我们称 F 逻辑蕴涵 f

      ps: 其中f可由F通过Armstrong公理推得

    • 举个栗子:
      • 给定关系模式 r(A, B, C, G, H, I)

      • F包含如下依赖

        • A → B
        • A → C
        • CG → H
        • CG → I
        • B → H
      • 函数依赖f : A → H

      • 其中 f 被 F 逻辑蕴涵

        • 由Amstrong传递公理可知:A → B, B → H ==> A → H
  • 函数依赖集的闭包

    • 令 F 为一个函数依赖集。则 F的闭包被 F 逻辑蕴涵的所有函数依赖的集合
    • 记作:F+
  • Armstrong公理(Armstrong's axiom)

    公理是科学的客观规律,不需要自己证明,直接用就行

    • Armstrong 公理

      • 自反律(reflexivity rule)。若α为一个属性集,且β⊆α, 则α→β
        • 举个栗子:(A, B)→A
      • 增补律(augmentation rule)。若α→β成立且γ为一属性集,则γα→γβ
        • 举个栗子:(A, B)→C ==> (A, B, D, E)→(C, D, E)
      • 传递律(transitivity rule)。若α→β和β→γ成立,则 α→γ 成立
        • 举个栗子:A→B, B→C ==> A→C
    • Armstrong公理是完备的,对于一个给定的函数依赖集F,通过Armstrong公理可以产生全部的F+

    • Armstrong公理的一些推论

      可由Armstrong公理直接推得,也可以当做公理使用

      • 合并律(union rule)。若α→β和α→γ成立,则α→βγ
        • 举个栗子:A→B, A→C ==> A→(B, C)
      • 分解律(decomposition rule)。若α→βγ成立,则α→β和α→γ成立
        • 举个栗子:A→(B, C) ==> A→B, A→C
      • 伪传递律(pseudotransitivity rule)。若α→β和γβ→δ成立,则αγ→δ成立
        • 举个栗子:A→B, (B, C)→D ==> (A, C)→D
  • 属性集的闭包

    • 令α为一个属性集,我们将函数依赖集 F 下被α 函数确定的所有属性的额集合为称为F下α的闭包
    • 记作:α+
    • 伪代码如下:
      result := α
        repeat
          for each 函数依赖 β→γ in F do
            begin
              if β ⊆ result then result := result ∪ γ
            end
        until(result 不变)
      
  • 正则覆盖(极小函数依赖集)

    • 如果去除函数依赖中的一个属性不改变函数依赖集的闭包,则称该属性是无关的
    • F的正则覆盖 Fc 是一个依赖集,使得F逻辑蕴涵Fc 中的所有依赖,并且Fc 逻辑蕴涵F中的所有依赖。此外,Fc 必须具有如下性质 :
      • Fc 中任何函数依赖都不含无关属性
      • Fc 中函数依赖的左半部都是唯一的。即Fc 中不存在两个依赖α1→β1和α2→β2, 满足α12
  • 无损分解

    • 如果用两个关系模式r1(R)和r2(R)替代r(R)时没有信息损失,则我们称该分解时无损分解(lossless decomposition)
    • SQL 表示
      -- 下面查询的结果与r具有相同结果的元组集
      SELECT *
      FROM r1 natural join r2
      
    • 关系代数表示:
      • R1(r) ⋈ ∏R2(r) = r

分解算法=> 下回分解

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