数据库笔记（十二）——函数依赖理论和分解算法

函数依赖理论

• 逻辑蕴涵

  • 定义：

    • 存在如下条件
      • 关系模式：r(R)
      • 依赖集：F （由一个或多个依赖组成）
      • 依赖：f
    • 若r(R)满足F ==> r(R)满足f
    • 我们称 F 逻辑蕴涵 f

    ps: 其中f可由F通过Armstrong公理推得

  • 举个栗子：

    • 给定关系模式 r(A, B, C, G, H, I)

    • F包含如下依赖

      • A → B
      • A → C
      • CG → H
      • CG → I
      • B → H

    • 函数依赖f : A → H

    • 其中 f 被 F 逻辑蕴涵

      • 由Amstrong传递公理可知：A → B, B → H ==> A → H

• 函数依赖集的闭包

  • 令 F 为一个函数依赖集。则 F的闭包 是 被 F 逻辑蕴涵的所有函数依赖的集合
  • 记作：F⁺

• Armstrong公理（Armstrong's axiom）

  公理是科学的客观规律，不需要自己证明，直接用就行

  • Armstrong 公理

    • 自反律（reflexivity rule）。若α为一个属性集，且β⊆α， 则α→β
      • 举个栗子：(A, B)→A
    • 增补律（augmentation rule）。若α→β成立且γ为一属性集，则γα→γβ
      • 举个栗子：(A, B)→C ==> (A, B, D, E)→(C, D, E)
    • 传递律（transitivity rule）。若α→β和β→γ成立，则 α→γ 成立
      • 举个栗子：A→B, B→C ==> A→C

  • Armstrong公理是完备的，对于一个给定的函数依赖集F，通过Armstrong公理可以产生全部的F⁺

  • Armstrong公理的一些推论

    可由Armstrong公理直接推得，也可以当做公理使用

    • 合并律（union rule）。若α→β和α→γ成立，则α→βγ
      • 举个栗子：A→B, A→C ==> A→(B, C)
    • 分解律（decomposition rule）。若α→βγ成立，则α→β和α→γ成立
      • 举个栗子：A→(B, C) ==> A→B, A→C
    • 伪传递律（pseudotransitivity rule）。若α→β和γβ→δ成立，则αγ→δ成立
      • 举个栗子：A→B, (B, C)→D ==> (A, C)→D

• 属性集的闭包

  • 令α为一个属性集，我们将函数依赖集 F 下被α 函数确定的所有属性的额集合为称为F下α的闭包
  • 记作：α⁺
  • 伪代码如下：

    result := α
      repeat
        for each 函数依赖 β→γ in F do
          begin
            if β ⊆ result then result := result ∪ γ
          end
      until(result 不变)
    

• 正则覆盖（极小函数依赖集）

  • 如果去除函数依赖中的一个属性不改变函数依赖集的闭包，则称该属性是无关的
  • F的正则覆盖 F_c 是一个依赖集，使得F逻辑蕴涵F_c 中的所有依赖，并且F_c 逻辑蕴涵F中的所有依赖。此外，F_c 必须具有如下性质 ：
    • F_c 中任何函数依赖都不含无关属性
    • F_c 中函数依赖的左半部都是唯一的。即F_c 中不存在两个依赖α₁→β₁和α₂→β₂， 满足α₁=α₂

• 无损分解

  • 如果用两个关系模式r₁(R)和r₂(R)替代r(R)时没有信息损失，则我们称该分解时无损分解（lossless decomposition）
  • SQL 表示

    -- 下面查询的结果与r具有相同结果的元组集
    SELECT *
    FROM r1 natural join r2
    

  • 关系代数表示：
    • ∏_R1(r) ⋈ ∏_R2(r) = r

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