算法基础篇(4)------贪心与动归

● 每周一言

年龄增长所带来的成熟与经验，不值得夸耀。

导语

贪婪，是一种本性。无后效性的贪婪，称为贪心算法；而全局贪婪，则称为动态规划。那么，贪心和动归的具体思想是什么？分别又是如何实现的？

贪心

贪心算法（Greedy algorithm），是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。其在有最优子结构问题中尤为有效，最优子结构的意思是局部最优解能决定全局最优解。

举个例子直观感受一下： 超级书架。

题目描述： 给你N个高度分别为Hi的物体，和一个高度为B的书架，并且保证这些物体的高度之和大于等于书架的高度B。问从这N个物体中最少要取出多少个，使得这些取出来的物体所堆起来的总高度不小于书架的高度B。

解法： 此题具备无后效性，是一道典型的贪心算法题。 无后效性是指某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关。因此每次我们只需选取剩余最高的物体，直到高度之和超过书架为止即为答案。

动归

动态规划（dynamic programming）是解决多阶段最优化问题的一种思想方法。动态规划的关键是动态转移方程，很多情况下其编码实现非常简单。基本实现方法可分为如下两步：
递推 由当前状态推导后面的状态，更加强调阶段性。
递归 记忆化搜索，由前面状态得出当前状态，一般承认阶段性。

同样，我们还是通过举例子来直观感受，不妨就举一个与超级书架相似的例子：背包问题。

题目描述： 一个容量为M的背包，现在有N个体积为Ni的物品，如何装包才能让背包容量的利用率最大?

分析： 由于此题不满足“无后效性”，因此如果按照贪心策略装包，很有可能得不到最优解。比如对于容量为10的背包，假设有5个体积依次为（6， 5， 3， 3， 2）的物品，贪心策略会从大到小装包，因此体积为6和3的物品被选出，背包容量利用率为90%。但最优的策略应该是将体积为5、3和2的物品装包，此时利用率能达到100%。此时则不能用贪心算法，而需要用动态规划来解。

解法： 此题是一个典型的简化版 01背包问题，动态转移方程为：f(m) = f(m - k)。其中m为当前计算的容量，0 < m <= M，k为每个物品的体积。外层循环遍历物体体积，内层循环从大到小遍历背包容量。这里多说一句，如果是重复背包问题（每种物品可取多次），内层循环则需改为从小到大遍历背包容量。

典型的动态规划问题还有导弹拦截、字符串距离和最长公共子序列等。敬请期待下节内容 最短路。

结语

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