高斯滤波、双边滤波、Retinex图像增强的学习

一、高斯滤波

二维高斯函数(均值为0)，以及 δ = 6图像：
$$G(x,y)=\frac{1}{2\pi {\delta }^2}{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2{\delta }^2}}$$

高斯滤波器的平滑程度是由参数σ表征的，σ越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好．通过调节平滑程度参数σ。高斯滤波器的截止频率可以由标准差来描述：
$$f_c=\frac{1}{2\pi \delta }$$
一般情况下，截止频率都定义在半功率点，也就是滤波器的功率谱响应降到一半（-3dB），或者是幅度谱的0.707处。另外，二维高斯函数具有旋转对称性，这也使得它会模糊掉图像的边缘信息。

二、双边滤波

Bilateral filter 是非线性的带有边缘保护的图像降噪平滑滤波器。它以像素邻域附近的加权平均值代替原像素值。权重可以选择高斯分布，但是权重不仅仅有距离像素的欧式距离决定，还受到辐射差值的影响，这可以保留明显的边缘。双边滤波的定义如下：
$$I^{filtered}(x)={\frac{1}{W}}_p\sum _{x_i\in \Omega }I(x_i)f_{\tau }(\Vert I(x_i)-I(x)\Vert )g_s(\Vert x_i-x\Vert )$$
$$W_p=\sum _{x_i\in \Omega }{f}_{\tau }(\Vert I(x_i)-I(x)\Vert )g_s(\Vert x_i-x\Vert )$$
权重由空间接近程度和强度差共同决定，例如要对图像的（i,j）点降噪，需要用到它的邻域内的点（k,l）,那落在个点上的权重可取为：
$$w(i,j,k,l)=exp⟮-\frac{(i-k{)}^2+(j-l{)}^2}{2{\delta }^2}-\frac{\Vert I(i,j)-I(k,l){\Vert }^2}{2{\delta }^2}⟯$$
像素（i,j）滤波后的值可有下式给出：
$$I_D(i,j)=\frac{{\sum }_{k,l}I(k,l)w(i.j.k.l)}{{\sum }_{k,l}w(i.j.k.l)}$$
双边滤波的效果如下：

三、Retinex算法

Retinex可以在灰度动态范围压缩，边缘增强和颜色恒定性三个方面达到平衡。基本原理是将一副图像分为亮度图像和反射图像两部分，然后通过降低亮度图像对反射图像的影响而达到增强图像的目的。可以描述为：
$$S(x,y)=R(x,y)\bullet L(x,y)$$
其中R(x,y)表示入射光，L(x,y)表示物体的反射性质。S(x,y)被观察者接受就形成了彩色图像。入射光决定图像中像素能达到的动态范围，反射物体决定了图像的内在性质。将上式取对数：
$$log(S(x,y))=log(R(x,y))+log(L(x,y))$$
单尺度retinex算法：
亮度图像由原图像通过G函数得到，通常这个函数为高斯低通函数。
$$log(R(x,y))=log[S(x,y)]-log[S(x,y)\ast G(x,y)]$$ $$\begin{gathered} G(x,y)=\lambda \ast exp\frac{-(x^2+y^2)}{c^2} \\ \lambda \text{是常量矩阵，使得：}\int \int G(x,y)dxdy=1 \end{gathered}$$
多尺度retinex算法：
多尺度算法通常是单尺度的加权平均，若N = 3，则每个w = 1/3;G函数与单尺度一样是高斯函数，分别带有不同的尺度c，可取值：15\80\200.
$$r(x,y)=\sum _{i=1}^N{w}_i\{log[I(x,y)]-log[I(x,y)]\ast G_i(x,y)]\}$$